ÉQUATION D’UN CERCLE DANS UN REPÈRE ORTHONORMAL Une application immédiate du produit scalaire est l’équation du cercle (mais en fait, Pythagore aurait suffi) • L’équation d’un cercle de centre I et de rayon R (R > O) est où M (x; y) est un point courant sur le cercle. Comparer deux nombres positifs ou nuls équivaut à comparer leurs carrés, l’équation du cercle s’écrit aussi IM 2=R2 IM Sni* to View Si l(a; b) et M (x; y), al b et IM 2 (x — a)2 + (y — b)2 L’équation du cercle s’écrit donc explicitement : es points M tels que (AM ) L (BM ) ?
Ecrivons AM . BM O soit soit x2 y 2 — + xB)x (YA + yB)y soit encore 2 et enfin 12 (x + x2B + 2xA + YA ya – 4XA XB – 4YAYB ) PAG » OF d 1800 . D’autre part, AOM + AON – 1800 (car M ON = 1800 ) En soustrayant membre à membre ces deux égalités, on trouve 2AM O- AON = O soit AON = O. Pour revenir à la première figure, ajouter à celle-ci un diamètre [M N I et achever la démonstration (2 cas de figure). Pour en revenir au diamètre d’un cercle, si [AB] est un diamètre, ‘angle AOB vaut 180 degrés, donc AM B vaut la moitié, 90 degrés.
Point de vue des fonctions L’équation d’un cercle de centre l(a; b) et de rayon R s’écrit (x — a)2 + – – R2 , soit (Y – = R2-cx- R2 — (x — a)2 ou y —b = — R2 — (x — a)2 On a donc deux fonctions x f (x) R2 — (x — a)2 , dont les courbes représentatives sont deux demi-cercles (un demi-cercle « superieur » et un demi-cercle « inférieur -x2. Exemple, le cercle de centre v O et de rayon 1 a pour é pac;F3CFd -1, soitv=l -x ou y
