Chapitre 7 – Les systèmes d’équations La droite dans un plan cartésien Définition d’une droite Une équation est un énoncé mathématique composé d’une relation d’égalité (vraie ou fausse) comportant au moins une variable. Il existe trois formes pour représenter l’équation d’une même droite. fonction sous la forme fonctionnelle o fonction sous la forme générale o fonction sous la for Céquation d’une droi f(x) = ax + b x représentent la vari f(x) représentent la v OF p g IONNELLE fonction linéaire a est un paramètre qui représente le taux de variation soit a = 2 1 sachant que Pl (XI , YI est un paramètre qui représente l’ordonnée à l’origine soit (O, b) —b L’abscisse à l’origine (zéro) Remarques 1- Le taux de variation, paramètre a, détermine l’inclinaison de la droite dans le plan cartésien.
Le signe du paramètre a indique si la droite est croissante (a>O) ou décroissante (a Ax+By+C=O x représentent la variable indépendante de la fonction linéaire A est un nombre naturel (A8N) B est un nombre entier (B8Z) C est un nombre entier (C8Z) -c Cabscisse à l’origine @ = Cordonnée à l’origine b – -A Le taux de variation Remarque @ Mme Gathem Résumer des mathématiques SN 4e sec. page 78 Les formes d’écriture d’une droite Forme fonctionnelle 20F 14 mathématiques SN 4e sec. page 79 Changement d’une forme à l’autre pour l’équation d’une droite Forme générale Ax+BY+C=O Forme symétrique page 80 passage de la forme GÉNÉRALE à la forme FONCTIONNELLE Isoler la variable indépendante y Exemple : 3x 4y _ 4 —O passage de la forme GÉNÉRALE à la forme SYMÉTRIQUE Méthode 1) Détermine l’abscisse à l’origine @=-C et Pordonnée à l’origine b = —C Méthode 2) Passer par la forme fonctionnelle pour obtenir la forme symétrique 30F 14 page 82 Passage de la forme SYMÉTRIQUE à la forme FONCTIONNELLE Exemple : passage de la forme SYMÉTRIQUE à la forme GÉNÉRALE Enlever les fractions et tout mettre du même côté de l’égalité. 3 page 83 Les inéquations Définition d’une inéquatio 4 4 (l’équation). Traduction en inéquations Pour traduire une information en une inéquation, on doit : – Identifier la ou les variables dans la situation donnée; 2- Établir les expressions algébriques à comparer; 3- Écrire l’inéquation en choisissant le symbole d’inégalité approprié. page 84 Démarche pour déterminer graphiquement l’ensemble-solution Tracer la droite frontière. Exemple La droite frontière est tracée en trait plein pour signifier que les points de la droite frontière font parties de l’ensemble-solution lorsque le signe d’égalité figure dans l’inéquation. La droite frontière est un trait pointillé pour signifier que les points de la droite frontière ne font pas partie de ‘égalité figure pas dans l’inéquation. 2 – Déterminer l’ensemble-solution en hachurant le demi-plan : vérifier ? l’aide 4 pour un match nul. Les blizzard espèrent terminer la saison régulière avec un score d’au moins 21 points. a) Traduis cette situation par une inéquation après avoir clairement défini les variables. x : nombre de matchs gagnés y : nombre de matchs nuls. X+Y>21 b) Représente graphiquement la région-solution de l’inéquation. c) Sachant que la saison régulière comporte IO parties, est-ce que cette équipe qui a gagné sept matchs et en a perdu une seul a atteint ses bjectifs? Justifie ta réponse. OUI, cette équipe a atteint le résultat escompté, car elle a obtenu 23 points. page 86 Les systèmes d’équation du premier degré Définition de système linéaire un système d’équations lineaire est composé de deux équations (ou plus) du premier degré à deux variables. Résolution d’un système linéaire Résoudre un système consiste à rechercher la ou les valeurs de la variable 6 4 même pente et l’ordonnée à l’origine est identique. Les droites perpendiculaires ont des taux de variation inverse et de signe contraire soit le produit des pentes des deux droites erpendiculaires égal -1 . al •a2=-1 page 87 Il existe trois méthodes pour résoudre un système (une solution) linéaire soit. La table de valeurs Le graphique Les résolutions algébriques Regardons de plus près les trois méthodes de résolutions algébriques – méthode de comparaison – méthode de substitution – méthode de réduction Résolution algébrique : MÉTHODE de COMPARAISON Étapes 1. Isoler la même variable dans chacune des équations. 2. Poser l’égalité des deux expressions algébriques qui expriment l’une des variables. 3. Résoudre Péquation ainsi obtenue. Remplacer la valeur obtenue dans l’une des équations du système afin de calculer la valeur de l’autre variable du couple solution. . Remplacer la valeur obtenue dans l’une des y = 2x-6 ety=3x+1 FY 2x-6 3x +1 -6-x+l =3X+1 y y = 3(-7) +1 y- 20 Donc (-7,-20) La solution du système y -2x-6 et y =3x+ 1 est (-7, -20) page 88 Résolution algébrique : MÉTHODE de SUBSTITUTION Etapes v = et = 5 B4 par l’expression qui lui est égale. 3. Résoudre l’équation ainsi obtenue. équations du système afin de calculer la valeur de l’autre va iable du couple solution. y = 2x-6 et 3x-y = -1 -X+6=-1 F 2x-6 Y = 2(7) -6 Donc (7, 8) La solution du système y =2x+6 et 3x-y – page 89 – est (7, 8) Résolution algébrique : MÉTHODE de RÉDUCTION 2x + y = 4 etx-y=2 x-v=2 deux équations sous la forme suivante al x bly=cl et c2 etx+4y=7 2. Multiplier, si nécessaire, Pune des équations, ou les deux, pour former un système équivalent au premier dans lequel les coefficients d’une même variable sont égaux ou opposés. Rechercher une équation à une seule variable par addition ou soustraction des équations du dernier système. 3. Résoudre féquatlon ainsi obtenue. de l’autre variable du couple solution. 2x + 3(2) = 4 x=-l – -10 y=-10 0 4
