TR FONcTiONs. ÉQUA iONS. iNÉQUATiONs AC TiVITES 1 1 a) (2) < f(5) etf(4, b) g(l) > ge,5) et g(2, or21 Sni* to View 2 a) S est une fonction croissante (lorsque le rayon r augmente, l’aire S augmente). b) C’est une fonction décroissante (lorsque le temps augmente, la quantité d’eau diminue). 2 Pas de corrigé. pr03LÈMe ouverT • Piste 1 : Exprimez le volume en fonction de x et de h. • Piste 2 : Déduisez-en l’expression de h en fonction de x. • Piste 3 : Exprimez l’aire des parois en fonction de x.
A à l’aide de GeoGebra, par exemple, et on conjecture que x = 2 (en mètres) est la valeur de x qui permet ‘utiliser le minimum de peinture. Pour obtenir une solution algébrique, on peut former la différence A(x) — A(2), puis étudier son signe pour justifier que A(2) est le minimum de A. Il s’agit donc de déterminer le signe de x3 – 12x + 16 puisque x > O. En utilisant le logciel XCas, on obtient la factorisation suivante . x3 – 12x + 16 = (x – (x + 4). Comme x > O, alors x + et (x- 2)2 > O et ainsi A(x) – A(2) > O. Ce qui prouve que A(x) A(2) et x = 2 est bien la valeur qui minimise la quantité de peinture à utiliser. xercices -i Application (p. 27) d) 7 e 10 ; 71. 1 a) 1 e[-l; 21. Intervalle : ; PAGF 91 ) 4 (2) = 3 x 10. (3) 32 -2 25. 2. f(2t) = 3 x (2t)2 -2 = 3 x 4t2 1)2421+23 g(2) = 21 = 2 +2 4+2 6 g(13) = (13)2+23+25 2. Alt) = (It)2+2t+2 2. a) h(12) = 2 x 122 – 16 x 12- 168 = 288 – 192 – 168 3 1 12 13 a) Faux. d) Vrai. b) Vrai. c) Faux. e) Vrai. 14 1. a) a comme solutions – 2 et 3. b) f(x) — 1 a comme solutions – 5 ; 2,4. c) f(x) O a comme solutions – 2,1 et 4. Chapitre 1 • Fonctions, équations, inéquations 2. les antécédents de 3 sont z – 1,5 et 15 8X+3=5 8x-2 84 5 a pour antécédent 1 par f. 5x-7=5 -5x 12 1 antécédent 8 par g. 17 1. a)x–5. b) 2]. c) 2. a) 3 solutions. b) 2 solutions. ) 1 solution. d) Aucune solution. 20 f(x) > 1 ; ensemble de solutions : f(x) < 0, ensemble de solutions : 21 f(x) > 0 ; ensemble de solutions : 0 0 < f(x) < 10 ; ensemble de solutions 22 4 5 donc A (3) = 2x3-5=6-5 = 1 = YB, donc B —4 yC, donc C e - 3 ya, donc O # 23 1. 2+12 16 = 4 = YA, donc A E 2. L'ordonnée de B est : PAGF s 1 ou x 70. O a bien deux antécédents par h : 10 et 70. 2. f(l) est-il égal à O ? f(l) = 12 1 -2 = O. # coupe bien l'axe des abscisses au point d'abscisse 1. 2. O a pour antécédent -4. 8 1 . Les antécédents de O par h sont x YA, donc A E = 10 27 L'ensemble de définition est 3 ; PAGF 1 f(22) d'après le tableau. Or f(22) = O doncf(x) < O et est donc négatif. 01 (- 2 ; 2) est le plus haut de la courbe. • Minimum —4 atteint en —1 et 3 car les points 1 ; -4) et (3 ; -4) sont les plus bas de la courbe. 36 33 35 1. a) O atteint en 8. • Maximum 2 atteint en —2 car le point 1. Minimum -68 : c'est la plus petite des 12 1620 58 64 70 72 80 95 100 150 IO point le plus haut de la courbe sur [- 1 ; O]. • Minimum —4 atteint en- 1 car (—1 ; - 4) est le point le plus bas sur 1 ; 01. 0 200 200 PAGF 7 1 38 1 . Sur l'intervalle [-6 ; - 1], les images • car f(0) 2. C(-4, donc (0) 8), d'où -2 < 6. Or 7 ne vérifie pas cette condition. 41 1. 6<-3 < 1 < 2 et f est strictement augmentent de —4 à 8, donc O est atteint. Il est atteint une seule fois car f est strictement croissante. Donc O a un seul antécédent dans On raisonne de la même façon sur chacun des intervalles 1 ; 21 et [2 ; 7] où les images varient, respectivement, de 8 à -2 et de —2 ? Ainsi, O a trois antécédents par f. croissante sur 6 ; 2] donc f(- 3) < f(l) car f conserve l'ordre sur [- 6 ; 2].
En revanche, 2 < 3,001 < 3,002 < 10 et f est strictement décrolssante sur [2 ; 10], donc elle hange l'ordre et > f(3,002). 2. • sur – 4), donc g(X) < 2. • Sur IO ; 7], f(x) < f(O), donc f(x) < 2. • Sur 4 ; O], le minimum est 2, atteint en -4 et O. Ainsi f(x) > 2. Conclusion :f(x)> 2 équivaut à x e 4 ; 0]. 3. f est strictement décroissante sur [2 ; 10], donc elle change l’ordre. Ainsi si 2 < a < b < 10, alors f(a) > f(b). 39 1. 4 est le maximum PAGF E 1 39 1. 4 est le maximum de f atteint en x = 1, donc 4 a un seul antécédent : 1. 2. a) 2 e [1 ; 3], donc f(3) < (2) < f(l), donc b) -1 E[-2; 0], donc f(- 2) < 1) < f(0), donc —5 3.
Non car le maximum sur [-9 ; – 2] est -3 4. Sur les intervalles [—9 ; et 13 ; Sur l’intervalle [O ; 3], f(x) 1. Donc f(x) > -1 a pour ensemble de solution . 40 • A(6; – 8) E # car 6 E [3 ; donc f(6) < f(3), donc (6) O. or -8 vérifie cette condition. 2. f est strictement croissante sur [- 6 ; 2], donc elle conserve Fordre. Ainsi si -6 a 2, alors f(a) < f(b). 42 1. f est strictement croissante sur [1 ; 1 < < 3, donc f 3 < f 9. 24 2. f est strictement décroissante sur [ donc a < b implique f(a) > f(b). 1212 3. sur 3:11. 43 a) Faux car f est strictement croissante sur [0;5]. > 1, donc f(x) > O. ) Vrai carf 1 f(2): f est strictement crois2 ante sur [O ; 5]. exercices Apprendre à chercher (p. 42) 55 1. n f est l’ensemble des points de coordonnées (x ; f (x)) Dg est l’ensemble des points de coordonnéés (x ; g(x)). 2. a) Si f(x) = g(x). M a pour coordonnées (u ; f(u)) et (u ; g(u)) donc M appartient à Elf et Dg. 8 b) Si M e Of et M lg alors M a pour coordonnées (u ; f(u)) ou (u ; g(u)). donc f(u) = g(u) c) Donc les solutions de l’inéquation f(x) sont x —-2 ou x = 2. Objectif 2 : Les solutions de l’inéquation f(x) > g(x) suit les nombres x de [ 56 1. AB2=OA2+ 082=9+16 2. a) f est definie sur [O ; 5]. AH AM MH = 25 donc
