Mathématiques – brevet de technicien supérieur session 2006 – groupement B Exercice 1 (sur 11 points) Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante. A. Résolution d’une équation différentielle On considère l’équation différentielle (E) : y — » -5e-x où y est une fonction de la variable réelle x, définie et deux fois dérivable sur R, y ‘ la fonction dérivée de y et y » sa fonction dérivée seconde. 1 . Déterminer les solutions sur R de l’équation différentielle (EO ) : -3y’-4y=O.
Y 2. Soit h la fonction d Démontrer que la fo Ion l’équation différentiel (Eû 3. En déduire Pense . Déterminer la solution t de I quation dit les conditions initiales B. Étude locale d’une fonction particulière de uation différentielle rentielle (E) qui vérifie La courbe C ci-dessous est la représentation graphique, dans un repère orthonormal (O ; i , j de la fonction f définie sur R par f (x) = (x + 2)e—x . 2 c 4 X3 E(x) avec lim E(x) – O 6 2. Déduire du 1. ne équation de la tangente T à la courbe C au point d’abscisse O. 3. Étudier la position relative de C et T au voisinage du point d’abscisse O. C. Calcul intégral f (x) dx. On note 1. À l’aide d’une intégration par parties, démontrer que I 3 3, 6e-o,6 . 2. Donner la valeur approchée arrondie à 10—3 de 3. Donner une interprétation graphique du nombre l. Exercice 2 (sur 9 points) Une entreprise fabrique des chaudières de deux types – des chaudières dites « à cheminée – des chaudières dites « à ventouse D.
Les quatre parties de cet exercice peuvent être traitées de façon A. Ajustement affine Le nombre de chaudières fabriquées lors des années précédentes est donné par le tableau suivant ‘ Rang de l’année : xi PAG » OF d sera arrondi à l’unité. 2 En supposant que la tendance observée se poursuive pendant deux années, estimer le ombre de chaudières qui seront fabriquées l’année de rang 7. B. Probabilités conditionnelles L’entreprise a fabriqué en un mois 900 chaudières à cheminée et 600 chaudières à ventouse.
Dans ce lot, 1% des chaudières à cheminée sont défectueuses et des chaudières à ventouse sont défectueuses. On prélève au hasard une chaudière dans la production de ce mois. Toutes les chaudières ont la même probabilité d’être prélevées. On considère les événements suivants : A : « La chaudière est à cheminée » ; B : La chaudière est à ventouse » , C : « La chaudière présente un défaut » ; . Déterminer P P P (DIA) et P (DIB). 2. Calculer P (D n A) et P (D n B). 3.
En remarquant que D = (D n A) u (D n B)et que les événements D n A et D n B sont incompatibles, calculer P (D) et P (D). C. Loi normale Soit X la variable aléatoire qui, à chaque chaudière à cheminée prélevée au hasard dans la production, associe sa durée de fonctionnement en années. On admet que X suit la loi normale de moyenne 15 et décart-type Une chaudière est dite « amortie » si sa durée de fonctionnement est supérieure ou égale à IO ans. Calculer la probabilité qu’une chaudière prélevée au hasard dans la prod
