Diagonalisation des matrices http://v. mw. math-info. univ-paris5. fr/—ycart/MC2/node2. html Sous-sections Matrices diagonales Valeurs propres et Ve Polynôme caractérist Exemples Illustration par MuPad QCM corrigé or 14 Sni* to View Nous nous plaçons dans , avec Les éléments de ou sont les scalaires. Toutes les matrices considérées sont des matrices carrées à lignes et colonnes. Les vecteurs sont identifiés à des matrices à lignes et colonne. Une matrice est diagonale si tous ses coefficients en dehors de la diagonale sont nuls. est le produit des coefficients diagonaux.
Multiplier à gauche par une matrice diagonale revient à multiplier la -ième ligne par est une matrice quelconque, alors Multiplier à droite par une matrice diagonale revient à multiplier ième colonne par : si Le prodult de deux matrices diagonales est une matrice diagonale. Si tous les coefficients diagonaux sont non nuls, la matrice est inversible La puissance -ième d’une matrice diagonale est : Voici deux systèmes linéaires d’équations. Voici deux systèmes linéaires d’équations de récurrence. Voici deux systèmes linéai s différentielles. oint de vue théorique, il n’y a pas de problème : Mais cela n’avance à rien si on ne sait pas calculer formellement en fonction de . Cest possible si est l’expression de diagonalisable. En effet, si Ecrire donc de est immédiat. On en déduit l’expression générale de . Dans l’exemple ci-dessus, on trouve : Nous étudierons une méthode analogue pour la résolution des systèmes linéaires d’équations différentielles au chapitre Equations différentielles. Les problèmes linéaires que l’on rencontre en pratique sont souvent de très grandes dlmensions (parfols des milliers).
Nous nous limiterons dans nos calculs aux dimensions et . Le calcul formel ‘une diagonalisation n’est possible que jusqu’à la dimension 4 puisqu’il implique de trouver les racines d’un polynôme dont le degré sont est la dimension (seules les équations polynomiales de degré résolubles par radicaux). En grande dimension, il existe des méthodes numériques pour calculer des diagonalisations approchées. Valeurs propres et vecteurs propres Si et sont deux matrices telles que , alors 12 que si le système a une solution non nulle.
Voici 2 manières équivalentes de l’exprimer (cf. Chapitre « Calcul matriciel »). Proposition 12. 2. 2 un scalaire est valeur propre de la matrice t seulement si l’une des conditions équivalentes suivantes est vérifiée. 1. Le rang de la matrice 2. Le déterminant de la matrice Si est strictement inférieur ? est nul : est une valeur propre, l’ensemble des vecteurs tels que , est un sous-espace vectoriel. Par définition, il contient le vecteur nul, et tous les vecteurs propres de associés à . On l’appelle le » sous-espace propre » associé à .
Remarquons qu’un même vecteur propre ne peut être associé qu’à une seule valeur propre. Par conséquent, deux sous-espaces propres associés ? deux valeurs propres distinctes ont une intersection réduite au vecteur Si une matrice est diagonalisable ( alors les vecteurs colonnes de la matrice de passage sont des vecteurs propres de . Mais pour être une matrice de assa e, doit être inversible, c’est montrer par récurrence sur que : Cest vrai pour , puisque par définition un vecteur propre est nécessairement non nul.
Supposons la propriété vraie à l’ordre Soient des valeurs propres distinctes deux à deux et des vecteurs propres associés. Supposons • En multipliant à gauche par la matrice Mais on a aussi : , on obtient Soit en soustrayant les deux équations : Daprès l’hypothèse de récurrence à l’ordre pour tout Mais alors nécessairement le vecteur propre ceci entraine que donc est nul, donc puisque PAGF s OF polynôme de degré les coefficients dépendent des dont Cependant, on n’a pas intérêt à le développer. En effet le but est de trouver ses racines, qui sont les valeurs propres.
On cherchera plutôt à factoriser Si on travaille dans , il peut se faire que le polynôme n’ait pas que des racines réelles, auquel cas la matrice ne sera pas diagonalisable dans . Dans , par contre, tout polynôme est scindé, c’est à dire qu’il admet racines, SI on les compte avec leur multiplicité. Nous supposerons désormais que raclnes st scindé, et qu’il admet pour , de multiplicités respectives polynôme est de degré ecrire : la somme : comme le vaut 6 2 au moins simple est celui des valeurs propres de multiplicité .
Le cas le plus . Dans ce cas la : elle vaut dimension du sous-espace propre est à la fois nécessairement . Il suffit alors de trouver un vecteur propre : tous autres seront proportionnels à celui-ci). On peut pour cela, soit résoudre le système , soit utiliser la « méthode des cofacteurs », conséquence de la proposition ci-dessous. proposition 12. 3. 3 soit Considérons une ligne de une valeur propre de , de multiplicité . hoisie de façon que la matrice formée des autres lignes soit de rang . Le vecteur formé des cofacteurs associés à cette ligne (les déterminants extraits en barrant la ligne choisie et une colonne, avec alternance de signe) un vecteur propre de associé ? Nous verrons plus loin des exemples d’utilisation de cette méthode, ? utiliser surtout en dimensi PAGF 7 OF base telle que la matrice de passage vérifie (une telle base est dite orthonormée).
Le fait d’avoir une base orthornormée permet d’écrire l’inverse de En matrice de passage sans calcul supplémentaire (car revanche, transformer une base de vecteurs propres que l’on a btenu par la méthode générale en une base orthonormée, requiert un calcul supplémentaire. Pour le calcul par ordinateur, il existe des algorithmes particuliers adaptés aux matrices symétriques. Nous détaillons d’abord l’exemple suivant, donné en introduction. Commençons par écrire la matrice Il faut ensuite calculer son déterminant.
Il serait maladroit d’utiliser la règle de Sarrus pour développer le déterminant et le factoriser ensuite. Il vaut mieux le factoriser en faisant apparaître des zéros par combinaison de lignes et de colonnes. Ajoutons d’abord la seconde colonne à la première : On peut alors factoriser dans la première colonne : Soustrayons ensuite la pr PAGF la seconde : propre . Il est conseillé de choisir le plus simple, ici : Le choix de la troisième ligne, pour calculer les cofacteurs, est arbitraire. Il suffit que les deux lignes qui restent ne soient pas proportionnelles (car tous les cofacteurs seraient nuls).
Voici par exemple les cofacteurs associés à la deuxième ligne. On pourra trouver un vecteur différent, mais il sera forcément proportionnel à celui qu’on trouve avec une autre ligne. Cela ne change rien au choix du vecteur propre. Passons maintenant à la valeur propre Les cofacteurs associés à la troisième ligne sont : Ici encore, nous choisirons un vecteur plus simple, proportionnel vecteur des cofacteurs. Voici le calcul pour la valeur propre Les cofacteurs associés à la troisième ligne sont .
Nous choisirons un vecteur plus simple, proportionnel au vecteur des cofacteurs. La matrice de passage vecteurs sera constituée en juxtaposant les trois pour bien comprendre la méthode. Dans l’exemple ci-dessous, la matrice est symétrique. Pour choix des vecteurs propres, nous avons fait en sorte que le Voici un exemple en dimension , où les valeurs propres sont des nombres complexes. La matrice est la matrice de la rotation vectorielle d’angle dans le plan Voici maintenant un exemple où la valeur propre est double.
La méthode des cofacteurs ne s’applique pas pour trouver les propres correspondants : il faut résoudre le système choisir deux vecteurs non proportionnels (les plus simples possibles) parmi les solutions. Le lecteur pourra vérifier que les deux matrices suivantes, qui ont une valeur propre double, ne sont pas diagonalisables. Voici pour finir quelques systèmes d’équations de récurrence, du type . Pour déterminer l’expression explicite de faut diagonaliser la matrice et calculer l’expression
