Correction Bac ES – Amérique du Nord – 30 Mai 2013 Correction Baccalauréat ES – Obligatoire Amérique du Nord – 30 Mai 2013 www. math93. com pour les candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spéclalité maths Exercice 1. 4 points Commun à tous les candidats QCM. 1. Pour tout réel d. ea or 10 Sni* to View a no a est égal à : C’est une définition de l’inverse d’un réel b qui est b —1 — = e a pulsque e— a = e a b b. avec ici b ln(x) ln(x) + 1 f est de la forme uv avec u(x) x, et v(x) ln x donc u x) 1, et v Sur IO ; +4, f est dérivable et f’ (x) = u (x)v(x) + u(x)v (x) ln x + x orrection Bac ES Exercice 2. points – Amérique du Nord 30 Mai 2013 Dans cet exercice, les résultats seront donnés à 10—3 près. 1. Une étude interne à une rande banque a montré qu’on peut estimer que l’âge mo t demandant un crédit PAGF 10 banque affirme que 75 % des demandes de prêts immobiliers sont acceptées. Soit F la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 1 000 demandes choisies au hasard et de façon indépendante, associe la fréquence de demandes de prêt immobilier acceptées. a.
Donner un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 de la fréquence de prêts acceptés par la banque. on a n = 1000, p = 759E alors on sait que puisque n = 1000 30, np 750>5 et -p) 5, l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 95% pour la fréquence F est I = p— 1, 96 ;p+l, 96 p(l – p) soit [0,72316 ; 0,77683] [72, ; 77, 10-3 près . b. Dans une agence de cette banque, on a observé que, sur les 1 000 dernières demandes effectuées, 600 demandes ont été acceptées. ?noncer une règle de décision permettant de valider ou non le slogan publicitaire de la banque, au niveau de confiance 95 %. On va déterminer la valeur de la fréquence observée f sur un échantillon de taille n 1000. – Si f est dans l’intervalle de fluctuation asymptotlque au seuil 95% pour la fréquence, on valide l’hypothèse au seuil ; – Sinon, on rejette au risque 5% l’hypothèse. c. Que peut-on penser du slogan publicitaire de la banque ? 600 60% n’appartient pas ? uctuation asymptotique la banque ? 60% n’appartient pas à l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 9596.
Le slogan 1000 est visiblement infondé. wvM. math93. com Correction Bac ES – Amérique du Nord Exercice 3. 30 Mai 2013 Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité La bibliothèque municipale étant devenue trop petite, une commune a décidé d’ouvrir une médiathèque qui pourra contenir 100 000 ouvrages au total. Pour l’ouverture prévue le 1er janvier 201 3, la médiathèque dispose du stock de 35 000 ouvrages de l’ancienne bibliothèque augmenté de 7 000 ouvrages supplémentaires neufs offerts par la commune.
Partie A Chaque année, la bibliothécaire est chargée de supprimer 5 % des ouvrages, trop vieux ou abimés, et d’acheter 6 000 ouvrages neufs. On appelle un le nombre, en milliers, d’ouvrages disponibles le 1er janvier de l’année (2013 + n). On donne = 42. 1 . Justifier que, pour tout entier naturel n , on a un+l = un x O, 95 – un+l le nombre, en milli s disponibles le 1er x un, – On achète de plus 6 000 ouvrages neufs soit 6 milliers . – On a donc Vn e N, n à O, un+l O, 95 x un +6 2.
Expliquer ce que permet de calculer cet algorlthme. Variables : Initialisation Mettre 42 dans IJ Mettre O dans N Traitement : Tant que U < 100 IJ prend la valeur IJ x o, 95 +6 N prend la valeur N +1 Fin du Tant que Sortie Afficher N. Cet algorithme permet de calculer le rang du premier terme de la suite (un )neN qui est supérieur ou égal ? 100. 3. À l'aide de votre calculatrice, déterminer le résultat obtenu grâce à cet algorithme. A l'aide de la calculatrice on obtient . 5 26 27 28 u(n) 98,3636133 99,44543263 100,4731 61 101,449503 Et donc le rane du premie 10 uite (un )nEN qui est 3/7 Tantque u < 100 U prend la valeur IJ x 0, 95 +4 2. On admet que v n+l = v n x O, 95 + 4 avec v O = 42. On considère la suite (w n ) définie, pour tout entier n, par w n = v n - 80. Montrer que (w n ) est une suite géométrique de raison q = O, 95 t préciser son premier terme w O On a w n+l Soit 76 o, 95 = v n+l -80 = O, 95vn + 4— 80 O, 95v n -76 95vn- = O, n - 80) 6 0 Correction Bac ES Exercice 4. points On considère la fonction f définie sur R dont la courbe représentative C f est tracée ci-dessous dans un repère orthonormé. 2 D -8 -4 -3 -2 7 0 Vx e R, f' (x) (—ax —1 + ab)eax . 3. En utilisant les questions précédentes, montrer que a et b sont solutions du système suivant ab 1 On a vu que • f (2) = 0 or f (x) = (b — x)eax donc (b — 2)e2a = O et puisque e2a > 0 on obtient b —2=0, ?? fi (O) = O or f’ (x) = (—ax — 1 + ab)eax donc (—1 + ab)eO = —1 + ab o.
De ce fait, les réels a et b sont solutions du système : ab — 1 5/7 Correction Bac ES- Amérique du Nord 30 Mai 2013 4. Calculer a et et donner l’ex ression de f (x). La première équation du s donne b = 2, puis, en 0 D’autre part que Vx e [O ; 2], o g f (x) g 2 et donc que l’aire recherchée est incluse dans un carré de côtés 2 unités et donc inférieure à 4 unités. – pour finir, partie de la courbe C f entre A et D est au dessus du segment [AD] et donc l’aire recherchée est upérieure à l’aire du triangle rectangle isocèle en O, OAD et donc supérieure à 2 unités d’aire.
Pour conclure, 2 g 2. a. On considère F la fonction définie sur R par F (x) = (—2x + Montrer que F est une primitive de la fonction f sur R. La fonction F est de la forme uv avec u(x) – 2x+ 8 soit u (x) = -2 et v(x) = eO,5x soit v = O, 5eO,5x . La fonction F est donc dérivable sur R comme composée de fonctions qui le sont et sa dérivée est donnée par F (x) = u (x) = —2 x eO,5x (—2x 8) x O, se 0,5x . Soit après réduction, Vx E R, F (x) = (2 – x)eax = f (x) , ce qui rouve que est une primitive de la fonction f sur R. . Calculer la valeur exacte de 3. On considère G une autre primitive de f sur R. Parmi les trois courbes C 1 2 et C 3 ci-dessous, une seule est la représentation graphique de G. Déterminer la courbe qui convient et justifier la réponse. – Méthode 1 : Puisque G est une primitive de f on a G ‘ (x) = f (x) et donc G ‘ (O) f (O) 2. La courbe de la fonction G doit donc présenter une tangente en x O de coefficient directeur 2. Cela elimine clairement C 1 dont le coefficient directeur de la angente en x = 0 est négatif ; – Cela élimine aussi C 2 dont le coefficient directeur de la tangente en x = 0 semble bien supérieur à 2 ; – Seule, la courbe C 3 présente une tangente en x = O de coefficient directeur 2. Méthode 2 : Pour avoir confirmation, on peut aussi faire le lien entre le signe de G ‘ (x) et celui de f (x) puisque G ‘ (x) f (x). On sait que f (x) est positif sur ] — ; 2] et négatif sur [2; +03[. Or, seule la fonction G de courbe C 3 est croissante sur ] – 2] et décroissante sur [2 , La courbe qui convient est donc la courbe C 3 . 8 6 4 -10
