UNIVERSITÉ CHEIKH ANTA DIOP DE DAKAR FACULTÉ DES SCIENCES ECONOMIQUES ET DE GESTION Cours de Math matiques Sciences Economiques et de Gestion Diaraf SECK Professeur Titulaire FASEG Idrissa LY ‘tre de Conr rences Ann ‘e Universitaire Table des mati res or 253 Sni* to View 1 Fonctions de plusieurs variables 1. 1 1 Notions de norme et de distance 1. 3 Voisinage . 1. 4 Ensembles ouverts et ferm • s 1. 5 Int’ rieur, adh rence, fronti re partielles 1 . 11. 4 Application conomique du th or’ me de Schwarz: productivit’s des facteurs 1. 11. 5 D’riv’e d’une fonction compos’ e. … .. 1 . 11. 6 D • riv es partielles de la fonction compos ‘e . 1. 11. 7 ralisation . 1. 11. 8 Diff rentielle 1. 11. 9 Propri’t•s 1. 11. 10 Ecriture symbolique de la diff’ rentielle . 1. 11. 11 D’ riv’e totale . 1 . 11. 12 Fonctions et relations implicites 2 Optimisation 2. 1 Fonctions homog’ nes . 2. 1. 1 Interpr tation graphique et -conomque du th ‘or’ me 73: constance des pentes des isoquantes 2. 1. 2 Homog’ n’ it’ lin’ aire et fonction de production eeee 2. 2 Fonction de production de type Cobb-Douglas 2. 3 Fonction de production de type CES . 2. 1 Elasticit• de substitution 2. 3. 2 Fonction de production • lasticit• de substitution techae nique constante 2. 3. 3 Fonction de production de Leontief . 2. 4 Th or me des fonctions implicites 2. 4. 1 Applications • conomiques 2. 5 D’ finitions Pr’ liminaires 2. 5. 1 D ‘terminant d’ une matrice 2. 5. 2 Mineurs principaux d’ une matrice 2. 5. 3 Matrice hessienne 2. 5. 4 Matrice hessienne bord ‘e 2. 5. 5 Matrices d ‘finie positive et semi d’ finie positive 25. 6 Matrices d « finie n • gative et semi d’ finie n’ gative . 2. 6 Fonctions convexes . 7 Fonctions quasi convexes et quasi concaves 2. 8 Optimisation sans contraintes . 2. 8. 1 Conditions n ‘ cessaires d’optimalit’ du premier ordre 2. 8. 2 Conditions suffisantes du second ordre 2. 9 Optimisation avec des contraintes d’ galit 2. 9. 1 Cas d’une seule liaison ou contrainte 2. 9. 2 Conditions suffisantes du second ordre: crit • re de la hese sienne bord • e 2. 10 Optimisation avec contraintes d’ galit • : Cas convexe . 32 34 35 36 38 . 38 40 42 43 2. 12. 2 Conditions du premier ordre: conditions de Kuhn et Tuckerl 04 2. 2. Conditions suffisantes du second ordre pour un optimum d » galit• . 88 2. 11. 4 Application • conomique du th or’ me de …. 91 105 identit’ de Roy 90 2. 11. 5 Application ‘conomique du th’ or ‘me de lemme de Shephard 2. 11. 6 Cas de plusieurs liaisons ‘ enveloppe: . 93 2. 12 Optimisation avec contraintes d’ in • galit’ : Les conditions de Kuhn et Tucker 103 2. 12. 1 Conditions de qualification des contraintes . . 103 local . 104 2. 12. 4 Conditions suffisantes du second ordre pour un optimum global 2. 12. Optimisation sous contraintes d’ in ‘ galit ‘s incluant des ontraintes de non n’ gativit 1 08 2. 12. 6 Applications conomiques: Mlnimisation du co•t avec limite de capacit’ 3 Equations aux diW renc .. 111 3. 1. 2 Stabilit’ d’ un ‘quilibre . 3. 1. 3 Etude locale d’ un ‘quilibre . 3. 2 Equation lin ‘ aire du premier ordre a coefficients constants. . 3. 2. 1 Solutions particuli res.. 3. 3 Applications conomiques 3. 3. 1 Le multiplicateur de Samuelson 3. 3. 2 L’ ‘volution oscillante des prix :toile d’ araign ‘e 4. 2. 1 Equations diff’ rentielles lin aires du premier ordre 4. . 2 Equations a variables s parables (ou s par • es) . 2. 3 Équation de Bernoulli 4. 2. 4 Equation de Riccati . 4. 3 Equations diffi rentielles lin aire du second ordre a coefficients constants 4. 4 Evolution et ajustement des prix . 145 . 145 . 146 . 147 . 150 . 152 5 R’ duction des endomorphismes 5. 1 Ind’pendance lin’ aire . 5. 1. 1 Base d’un espace vectoriel 5. 1. 2 Dimension 5. 1. 3 Applications lin ‘ aires . 5. 1. 4 Changement de bas R’ duction la forme triangulaire 5. 3 Application a la r • solution des syst• mes des suites vectorielles 159 . 159 . 60 . 161 . 162 . 163 . 156 163 64 165 168 171 179 7. 2 Quelques propri ‘t • s 7. 3 S’ ries a termes positifs . 7. 3. 1 propri ‘t’ s 7. 3. 2 Crit res de convergence 7. 3. 3 Crit res de Cauchy . 7. 3. 4 Crit• res d’ Alembert . 7. 3. 5 Crit Ares de Riemann . 7. 3. 6 Comparaison avec une int ‘ grale . 7. 4 S’ ries a termes de signes quelconques 7. 4. 1 Crit•res d’ Alembert . 7. 4. 2 Crit res de Cauchy . 7. 4. 3 Th or’ me des s’ ries altern ‘ es 7. 4. 4 Th ‘ or’ me de P’ quivalent . 7. 5 S’ ries enti&res…. . 7. 5. 1 Convergence d’ une s • rie enti•re . PAGF 53
