De Sousa & Jioua Camilia Smahane 2nde10 2nde 1 0 Exp. 10 Mr Jelloull Résumé vidéo «Le Dernier théorème de Fermat» Simon Singh: Le théorème doit son nom à Pierre de Fermat, qui l’énonça en marge d’une traduction(du grec au latin) des arithmétiques de Diophante, au regard d’un problème ayant trait aux triplets pythagoriciens. En mathématiques, e le dernier théorème ou depuis sa démon comme cecl: or 14 éorie des nombres, orème de Fermat, mat-Wiles, s’énonce Théorème 1 — Il n’existe pas de nombres entiers non nuls x, y et z tels que: xn+ zn,dès que n est un entier strictement upérieur à 2. ?noncé par Pierre de Fermat d’une manière similaire, il a cependant attendu plus de trois siècles une preuve publiée et validée, établie par la mathématicien britannique Andrew Wiles en 1994. Cest surtout par les idées qu’il a fallu mettre en œuvre pour le démontrer, par les outils qui ont éte mis en place pour ce faire, qu’il a pris une valeur considérable. Dans le cas où 1, l’équation xn+yn= Zn correspond à l’addition usuelle. 2, cette équation a encore une infinité de Dans le cas ou n solutions non nulles, les triplets pythagoriciens, dont le plus petit st (3, 4, 5) : 32+42= 52. ntiers non nuls (les autres solutions, de la forme xn+ On- xn, sont souvent appelées solutions triviales). Si l’équation n’a pas de solution (en entiers non nuls) pour un exposant n donné, elle n’en a pour aucun des multlples de n et donc il suffit pour démontrer le théorème général, de le démontrer pour n premier et pour 4. Numérotation sexagésimale Babyloniens: Les Babyloniens ont utilisé une grande variété de systèmes de numération : sexagésimal strict avec les clous et chevrons, décimal mélangeant du sexagésimal ou décimal.
Numération exagésimale Les Babyloniens ont compté en base 60 en utilisant une numération de position empruntée aux Sumériens. À noter que cette base a traversé les siècles puisqu’on la retrouve encore de nos jours dans la notation des angles en degré ou dans le découpage du temps en minutes et en secondes. Plus précisément, ils utilisaient deux chiffres, le clou valant une puissance de 60 (1/60, 1, 60, 3600, etc. ) et le chevron valant 10 fois un clou. 1 .
Tablette Plympon 322: La tablette d’argile de la collection GA Plimpton à l’Université de Columbia portant le numéro de catalogue 322, montre un des xemples les plus remarquables d’applications mathématiques ayant précédé le développement de cette discipline chez les Grecs. Selon les estimations, elle daterait d’entre 1900 et 1600 avantJ. C. Cette tablette a été déchiffrée et analysée pour la première fois par Neugebauer et Sachs en 1945. Elle est constituée d’un tableau de quatre colonnes: La quatrième ne fait qu’indi 12 et Sachs en 1945.
Elle est constituée d’un tableau de quatre colonnes: La quatrième ne fait qu’indiquer le numéro de la ligne. La première affiche un rapport de côtés d’un triangle rectangle lié aux angles aigus. La deuxième et la troisième qui sont de loin les plus intéressantes, donnent, comme l’en-tête de la tablette l’indique, le petit côté (a) et l’hypoténuse (c) d’un triangle rectangle dont les trois côtés (a -b – c) ont des valeurs exprimées par des nombres entiers. Comment les Babyloniens ont ils pu parvenir à la découverte de ces triplets pythagoriciens ? Certains pensent qu’ils auraient découvert la forme générale des solutions donnée «officiellement» pour la première fois par Euclide. D’autres estiment qu’ils auraient pu procéder au hasard par essais successifs. Cette dernière hypothèse semble peu probable dans la mesure où les nombres manipulés sont parfois très grands. oujours est-il que bien longtemps avant Pythagore, les Babyloniens maîtrisaient parfaitement son théoreme.
La tablette Plimpton 322 est une copie d’un original perdu. Elle présente des manques dus à des cassures de l’argile et comporte même des erreurs de copie de la part du scribe qui l’a rédigée. Elle est écrite dans un système mathématique à base 60 sans indication de zéro. Voici les valeurs quelle donne: paléo-babylonienne écrite en cunéiforme et traitant de mathématiques. Son Intérêt réside dans le fait qu’elle est la plus ancienne représentation connue d’une valeur approchée de la racine carrée de deux.
Depuis 191 2, elle est en possession de l’Université Yale. Cette tablette a la forme d’un disque d’environ 8 cm de diamètre et 8 mm d’épaisseur. Une face représente un carré et ses diagonales. Sur un côté de ce carré, on peut lire le chiffre suivant, dans le système sexagésimale babylonien : Signifie: (30) Le long d’une diagonale, se trouvent les deux séries chiffres: signifie: 24, 51, 2 Cependant jusqu’à présent, il n’existe aucune preuve d’un tel rocessus Itératif. 3.
Arithmétiques de Diophante: Formule de Dlophante: 1) On choisit deux entiers naturels m et n tels que m>n. 2) ; 2mn ; cz ? 70 cz v’242+702 4900 242= (20+4)2 =400+1 60+1 6 -576 7024242= 4900+576 -5476 V5476 = 74 ca- a2+b2= — mA4-2m2n2+mA4+4m2n2 =mA4+2m2n2+nA4 = (m 2+n2)2 Bien que les problèmes soient présentés de façon abstraite («Trouver deux nombres tels que leurs somme et produit forment des nombres donnés b), leur résolution se fait numériquement sur des cas particuliers.
Diophante utilise des techniques algébriques sans faire référence à la géométrie et par là, il ‘oppose radicalement aux méthodes passées des géomètres grecs. Les mathématiciens des XVIe et XVIIe siècles, tels François Vièté (1540-1603) et Pierre de Fermat (1601-1665), le surnommeront, ? juste titre, le « père de l’algèbre h. En effet, Diophante n’hésite pas à introduire un « nombre indéterminé »,qu’il appelle l’arithme et que l’on peut assimiler aujourd’hui à l’inconnue utilisée en al èbre.
Il utilise des puissances d’ rieur à 3 dont la PAGF pour x3. Par exemple, l’équation 4×2+ 3x = 10 se traduit rhétoriquement par « 4 carrés joints à trois nombres font IO », oit dans l’écriture de Diophante: AYE (y Diophante laisse son nom à une branche de l’algèbre, les équations diophantiennes. Ce sont des équations à plusieurs inconnues et à coefficients entiers ou rationnels qui mènent ? un grand nombre de solutions entières ou rationnelles.
Il existe de nombreux exemples d’équations diophantiennes dont la résolution se fait aujourd’hui à l’aide d’ordinateur: – recherche de deux nombres entiers tels que la somme de leur carré soit un carré (triplets pythagoriciens) – théorème de Bézout (voir le lien externe: homeomath) -théorème de Fermat En arithmétique, Diophante laisse encore un théorème élégant : « Tout nombre premier de la forme 4n+1 est la somme de 2 carrés. » Problème résolue par Diophante: Trouver 4 triangles rectangles de même hypoténuse. 92+522 652= 252+602 652= 632+16 56+33 32+42= 52×13 392+522= 652 52+122= 132X5 252+602= 652 (a2+b2) (c2+d2)= (ac+bd)2+ (bc-ad)2 (22+32) (2xé+3×1)2+ (3×2-2×1 (a2+b2) (ac 6324162 4. 3achet de Méziriar: Bachet de Méziriac étudia es. Sa vie, sa carrière, ne Paris. Bachet écrivit des poésies, se consacra aux chansons « dévotes et saintes » et voua une partie de ses travaux ? ‘arithmétique. Il sera l’un des premiers à entrer à l’Académie française (1635) nouvellement créée par Richelieu (dont la première mise en place remonte à 1634).
Il publia un recueil d’exercices sous le titre Problèmes plaisants et délectables qui se font par les nombres(1 613) et traduisit en latin, et en les commentant, les Arithmétiques de Diophante (1621 Cest ainsi que Fermat prendra connaissance des travaux de Diophante. Bachet apporta des compléments théoriques et des solutions générales à certains problèmes auxquels le mathématicien grec ‘apportait qu’une solutlon numérique particulière. dentité de Bachet , dite « de Bézout », qui en fit grand usage: le critère suivant, appelé en pratique identité de Bezout, est en fait dû à Bachet de Méziriac pour que deux entiers a et b soient premiers entre eux, il faut et il suffit qu’il existe un couple d’entiers relatifs (u,v) tel que : axu + bxv = 1 Par exemple : 7×4 -9x 1 : 7 et 9 sont premiers entre eux; 943×15 -221×64 = 1 : 943 et 221 sont premiers entre eux. pour de « gros » nombres dont on recherche s’ils sont premiers entre eux, le problème est rarement simple
Conjecture de Bachet-Waring: Bachet fut le premier à conjecturer que : Tout entier naturel n est la somme d’au plus quatre carrés (éventuellement égaux) conjecture souvent dite de Waring. 5. Pierre de Fermat: Pierre de Fermat, né dans écennie du xvi de Waring. 5. Pierre de Fermat. Pierre de Fermat, né dans la première décennie du xviie siècle, à Beaumont-de-Lomagne, près de Montauban, et mort le 12 janvier 1665 à Castres est un magistrat, polymathe et surtout mathématicien français, surnommé «le prince des amateurs».
Il est aussi poète, habile latiniste et elléniste, et s’est intéressé aux sciences et en particulier à la physique ; il est l’auteur notamment du principe de Fermat en optique. petit théorème de Fermat: Si p est un nombre premier et a un entier naturel non divisible par p, alors Le héorème d’ Euler, est un cas particulier. Gottfriend Wilhelm Leibniz a rédigé en 1683 une démonstration qu’il ne publie pas. Leonhnard Euler a démontré le théorème en 1736 par les mêmes arguments. Il communique cette preuve le 2 août 1 736 à l’Académie de Saint-Pétersbourg et publie cette première démonstration en 1741.
Elle repose sur une récurrence et l’utilisation du développement du binôme. Fermat n’a pas fourni sa démonstration ; le 18 octobre 1640, il écrit à Frénicle de Béssy: «Tout nombre premier mesure infailliblement une des puissances -1 de quelque progression que ce soit, et l’exposant de la dite puissance est sous-multiple du nombre premier donné Il ajoute: Et cette proposition est généralement vraie en toutes progressions et en tous nombres premiers; de quoi je vous enverrez la démonstration, si je n’appréhendais d’être trop long. ? Une opinion sur le point de savoir si Fermat tenait une émonstration correcte peut dépendre de l’oplnio opinion sur le point de savoir si Fermat tenait une démonstration correcte peut dépendre de l’opinion qu’on adopte sur une autre question, à savoir si Fermat a prétendu ou non avoir démontré sa conjecture sur les nombres qui portent son nom. Les méthodes de Fermat ont évolué avec le temps et il paraît difficile de reconstruire ce quia pu être son raisonnement. 6.
Triplets Pythagoriciens: Certains sont très connus, comme 3, 4 et 5 (9 + 16 = 25), mais d’autre sont à retenir, comme 5, 12 et 13 (25 + 144= 169). On eut dire qu’il existe une infinité de triplets pythagoriciens mais qu’il est plutôt difficile de les trouver. On cherche donc une formule qui permettrait d’en trouver une Infinité. Si (x) est un entier nature 1: (x2 + 1)2 = (x2 – 1)2 4 (2x)2 (42 = (42 – + (164 = (16- + (8)2 289 = 225 +64 Les 3 nombre situés dans les 3 parenthèses sont des triplets L’égalité de Pythagore est vérifiée, la formule est donc vraie et 17, 15 et 8 sont bien des triplets pythagoriciens.
Trois entier C tels que a2+b2=c2 exemples: T- car 32+42= 9+16 = 25 car 1 er Formule: La Grèce Antique ) développer (n41)2 puis (n-1)2 2) en déduire la formule: (n+1 n-l +2n2 3) com Grèce Antique 1) développer (n+l puis (n-1)2 2) en déduire la formule: (n+lp= (n-l )2+2n2 3) comment peut-on trouver des triplets pythagoriciens à partir de cette formule ? a2+2ab+b2 (a+b) a2-b2 3) (n-l )2+4n = nZ-2n+1+4n n2-2n+4n+1 = nz+2n+l = (n+1P Le N lui-même doit être le carré d’un entier. On pose n=k2 k | (k2-1 | +2 152+82 Formule de Platon: 2n; nL1 n2+1 Formule de Pythagore: 2n+1 ; 2r12+2n ce 2 n2+2n+1 a2+2ab+b2 a2-2ab+b2 a2+b2+c242ab+2ac+2bc Il suffit de remplacer C p ar -C. a2+b2+c2+2ab (a-b-cp
