PCSI II Correction DL na 1 Exercice 1 1. Etudions la fonction f : x x2 2(x-1) f est une fonction fra particulier f est d • er) D. Soit x e D, on a xtx-2) on r or fi sur D – -RN En Donc Vx e D f (x) 2(x—1) 2 On en d’ eduit le tableau des variations de la fonction f : donc f (x) > 12 x + pour x > 1, la courbe est donc au-dessus de son asymptote sur Il, Remarque : la fonction f v’ erifie la propri• et’ e Vx ED f (2 —x) = 2 – f (x). e graphe de f admet donc un centre de sym ‘ etrie de coordonn ees (1, 1). Nous aurions donc pu nous contenter de faire l » etude et le trac e sur 11, puis d’effectuer la sym ‘ etrie entrale de centre (1, 1). . La courbe d’ • equation y x2 est une parabole. Ta c Remarque : Pour les fonctions usuelles dont le graphe est connu, il n’y a pas • a refaire l » etude, a moins que cela soit explicitement demand ‘ e. 3. Soit A un point d’abscisse a R de la courbe P . D • eterminons l » equation de la tangente dans le plan et se coupent en un unique point. Soit C(xC , yC ) ce point. yc = 2axE – a2 On a yc = 2bxE b2 On obtient finalement : xC a+b Les droites Ta et Tb ont un unique point commun de coordonn yC ab 5. Soit a un r • eel. Donner une • equation cart ‘ esienne de la droite
Da passant par les points 1(1, 0) et Aa (a, a2 – Premier cas : a = 1, la droite da est parall ele a • l’axe des ordonn ees et Da : x = 1 – Second cas : a = 1, a2 6. D’ eterminons l’ensemble Q des r’ eels a pour lesquels la droite Da coupe la courbe p en un point Ba distinct de Aa – premier cas : a = 1, Da est parall ele a’ Faxe des ordonn’ ees et coupe P en un unique point. – second cas : a = 1 Les abcsisses des points d’intersection de P et Da sont les les solutions de l’ equatlon x2 = Cette ‘equation est une e uation du second degr•e qui admet a comme solution particuli si et seulement si a = O ou a = 2 Conclusion :
La droite Da coupe p en deux points distincts pour tout a Q avec {0, 1, 2}. Le second point d’intersection Ba a alors comme coordonn ees 7. On suppose a E Q et on note Ca le point d’intersection des tangentes ‘a P aux points Aa et Ba . Calculons les coordonn ‘ ees du point Ca . Il suffit d’appliquer le r » esultat de la question 4 : Les tangentes aux points Aa et Ba a P ont comme point d’intersection le point Ca 2(a-1) a-1 8. Montrons que, lorsque a varie, les points Ca appartiennent tous ‘a une moeme droite A. Il est clair que, pour tout a e Q, le point Ca appartient a’ la droite g. Montrons que le point Ca ne arcourt pas toute la droite A. question 1, on a ‘etud n f : x — x2, dont le d’ erivabilit• e de fm La fonction fm est une fonction fraction rationnelle, elle est donc d’ erivable sur son ensemble de d • efinition, ici on a clairement L’ensemble de d’ efinition et de d’ erivabilit’e D de f est R {1) 2. Simplifions f-l . On a pour tout x e D, f—l (x) – priv’ ee du point (1, 2). x—l -x + 1. Son graphe est la droite d » equation y — x + 3. Étudions les limites de fm en On a pour tout x E D fm On en d • eduit imm » ediatement I—xl lim fm (x) = et lim fm (x) 4. Etudions la limite en + ± de la fonction x fm (x) — On a pour tout x E D, fm(
