Planche no 1. Algèbre linéaire * très facile ** facile *** difficulté moyenne difficile I : Incontournable très difficile no 1 (** l) • Soient F et G deux sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel E. Montrer que : [(F u G sous-espace de E) (F CG ou G c to nextÇEge no 2 : Généralisatlon. Soien . , Fn n sous-esp u égal à 2 puls pace vectoriel sur un sous-corps K de C. Montrer que U Fn sous-espace de E) (il existe i E 1, n/ Fjc Fi no 3 l) : E – Kn où K est un sous-corps de C. soient , XI + + xn = 0} etG= , 1)) Montrer que F est un sous-espace vectoriel de E.
Montrer que F et G sont supplémentaires dans E. Préciser le projeté d’un vecteur x de E sur F parallèlement à G et sur G parallèlement à F. Techniques de démonstration d’indépendance (du no 4 au no 2, 3) est une famille libre du Q-espace vectoriel R. no 6 (**) : Soit f(x) ln(l + x) pour x réel positif. Soient f1 —f n f of. Etudier la liberté de (fi dans [0, no 7 : no 8 : Soit fa (x) = lx — al pour a et x réels. Etudier la liberté de la famille On pose fa (x) = eax pour a et x réels. Etudier la liberté de la famille de fonctions (fa )aeR . 9 (**) : Montrer que toute suite de polynômes non nuls de degrés deux à deux distincts est llbre. Montrer que toute suite de polynômes non nuls de valuations deux à deux distinctes est libre. e2 , e3 el no 5 . Montrer que (1, no IO : E = Rn pour o l), e3 de E. n, on pose Pk est une base — X)n—k . Montrer que la famille (Pk no 11 : (Polynômes d’i de Lagranee) Expliciter P puis déterminer tous les polynômes vérifiant les égalités précédentes. no 12 : 1) Calculer pour p et q entiers naturels donnés les intégrales suivantes : 21T 211 cos(px) sin(qx) dx et L(p, q) – os(px) cos(qx) dx, K(p, q) = J(pr q) = sin(px) sin(qx) dx. ) Montrer que la famille de fonctions U (sin(qx))qEN* est libre. no 13 (***l) : Soient Fet G deux sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel de dimension finie sur K. Démontrer que dim(F + G) = dimF + dimG — dim(F n G). c Jean-Louis Rouget, 2008. Tous droits réservés. http ://www. maths-francefr Cas d’égalité ? n et no 18 (**) : Soient E et F deux espaces vectoriels de dimension finie et soient fet g deux applications linéaires de E dans F. Montrer que Irgf- rggl rg(f+ g)rgf4 rgg. o 19 (**) : Soient E, F et G, trois K-espaces vectoriels puis fe L (E, F) et g E L (E G).
Montrer que rgf + rgg — dimF rg(g f) Min{rgf, rgg}. no 20 : Soient E un espace de dimension finie et F et G deux sous-espaces de E. Condition nécessaire et suffisante sur Fet G pour qu’il existe un endomorphisme f de E tel que F = Kerf et G = lmf. no 21 : Soient E un espace vectoriel non nul de dimension finie et f un endomorphisme de E. Montrer que • 1) (f non injective) (f = O ou f diviseur de zéro ? gauche). 2) (f non surjective) (f = O ou f diviseur de zéro à droite). o 22 I) : fn=O.
Soient E un espace de dimension finie n non nulle et f un endomorphisme nilpotent de E. Montrer que 8 no 23 : Soient A e M3,2 (R) et e M2,3 (R) telles que AB – n 2 -2 puis calculer BA. 5 4 C]. Justifier l’existence de A et g pour l’inclusion. b) Montrer que Net I sont stables par f. c) Montrer que Vk e N, (Nk Nk+l ) (Nk+l = Nk+2 2) On suppose de plus que dimE = n entier naturel non nul. a) soit A = {k N/ Nk Nk+l } et {k N/ Ik = Ik+1 1. Montrer qu’il existe un entier p n tel que b) Montrer que E = NP O Ip . c) Montrer que f/N est nilpotent et que f/l e GL(I). Trouver des exemples où a) A est vide et B est non vide b) A est non vide et B est vide c) (****) A et B sont vides. 4) pour k E N, on pose dk = dim(lk Montrer que la suite (dk — dk+l )kCN est décroissante. no 25 (‘ »k*l) : Soit E un espace vectoriel non nul. Soit fun endomorphisme de E tel que pour tout vecteur x de E la famille (x, f(x)) soit liée. Montrer que f est une homothétie. no 26 : Soit E un espace de dimension finie. Trouver les endomorphismes (resp. automorphismes) de E qu commutent avec tous les endomorphismes (resp. automorphismes) de E. 27 : Soient p et q deux projecteurs dun C-espace vectoriel Montrer que (p + q projecteur) (p • q = q e p = O) (lm(p) c Ker(q) et lm(q) c Ker(p)). Dans le cas où p + q est un projecteur, déterminer Ker(p + q) et lm(p + q). no 28 Soit E un espace de dimension finie. Montrer que la trace d’un projecteur est son rang. no 29 (****) : Soient pl pn n projecteurs d’un C-espace de dimension finie. Montrer que (pl +… +pn projecteur) Vi = j, pi O. no 30 : Soit E un C-espace de dimension finie n. Soient pl pn n projecteurs non nuls de E tels que Vi = j, pi •pj= O. Montrer que tous les pi sont de rang 1. 2) Soient ql , qn n projecteurs vérifiant les mêmes égalités. Montrer qu’il existe un automorphisme f de E tel que no 31 Soit E un espace vectoriel. Soit G un sous-groupe fini de G L (E) de cardinal n. Soit F un sous-espace de g n p 0 est un projecteur d’image E stable par tous les éléments de G et p un projecteur d’image F. Montrer que gEG no 32 (***) : Soit G un sous-groupe fini de GLn (R) tel que Tr(M) = O. Montrer que MEG no 33 : Soit G un sous-groupe de GL(E) avec dimE = n et cardG = p. Soit F – Montrer que dirnF — Trg. p
