M 1301 : Outils mathématiques COMPORTEMENT ET DISCIPLINE DANS LES AMPHIS 01 1 CODE DE CIVILITÉ ET DE BONNE CONDUITE l’horaire du début du cours est indiqué dans l’emploi du temps, ce n’est pas ‘heure d’entrée en amphi dans vos sacs, cartables ou sacoches – ETEINDRE et y RANGER mobiles, smartphones, notebooks, portables, baladeurs – y GARDER nourritur o or 16 vues, tracts, prospectus, etc sur les tables et les si Sni* to View NE PAS ACCROITRE les d t morations, les graffitis, etc. – RAMASSER les papiers sanctions pour les perturbateurs : . xistants xclusion Immédiate de l’amphi + note O au contrôle continu TD de la discipline tolérance « O » signé : les enseignants assurant des cours dans les amphithéâtres Mode de fonctionnement Règles évidentes Assiduité de la trigonométrie. Maîtriser les bases des probabilités et des statistiques. Compétences visées Manipuler les polynômes. Effectuer le produit scalaire, vectoriel et projection de vecteurs. Calculer des dérivées, en particulier des dérivées de fonctions composées. Étudier des fonctions. Appliquer les développements limités au calcul de limites. ?tudier une variable aléatoire suivant une loi normale.
Estimer une moyenne, une variance, une fréquence. Tester l’égalité de moyennes, de fréquences. prérequis : Niveau d’un bachelier scientifique ou technologique. Contenus : Étude des polynômes. Calcul vectoriel (produit scalaire, produit vectoriel, projection). Dérivées. Fonctions trigonométriques et leurs réciproques. Formules de Taylor, développements limités. Probabilités et Statistiques. Modalités de mise en œuvre • Prolongements possibles • Ce module est fournisseur pour toutes les disciplines cientifiques et technologiques, en particulier pour les disciplines : mécanique, DDS, EEA et métrologie.
Mots clés polynômes, calcul vectoriel, trigonométrie, développements limités, statistiques. Plan Calcul vectoriel Continuité, dérivation et fonctions réciproques Fonctions trigonométriques et leurs réciproques Étude des polynômes trigonométriques et leurs réciproques Formules de Taylor Développements limités Probabilités et Statistiques On identifie le plan avec Rx R = R2 l’ensemble des couples de nombres réels et l’espace avec Rx Rx R = R3 . Définition
Un vecteur est un segment orienté : il est défini par sa direction droite qui le contient), son sens (celui donné par son orientation) sa norme (la longueur du segment ; on dit aussi son intensité en physique). On considère aussi le vecteur nul O, qui peut être vu comme le d’un vecteur de norme O, avec une direction et un sens quelconques. On définit deux types d’opérations fondamentales sur les vecteurs : l’addition de deux vecteurs (définie géométriquement par la règle dite du parallélogramme) et la multiplication d’un vecteur par une constante réelle.
On dit que deux vecteurs u et v sont colinéaires s’il existe a e R tel que au = v. On munit l’espace d’un repère orthonormé direct (O, i, j, k). Proposition Tout vecteur u peut être d 16 ment à l’aide de ses opérations fondamentales sur les vecteurs se transposent simplement sur les coordonnées : u + v a pour coordonnées (ux + vx, uy + vy , uz + vz) au a pour coordonnées (aux , auy , auz ) Inégalité triangulaire : u • v sU + v Théorème de Pythagore et sa réciproque : u et v sont orthogonaux si et seulement si u + v 2 = u 2 + v2 .
Soient u et v deux vecteurs (du plan ou de l’espace). On appelle produit scalaire de u et v cos(u, v) On note le produit scalaire aussi u, v ou encore parfois u v . Dans l’espace muni d’une base orthonormée, soient u(ux , uy , uz ) v (vx,vy, vz). Alors : u. v = ux vx + uy vy+ uz vz Le produit scalaire a pour propriétés la commutativité : u. v = v . u la distributivité par rapport à Padditian : u. v+ u. w (au). v u. (av ) a(u. v ) u. =u Rappel Règle de la main droite pour le sens direct : un triplet de vecteurs (i, j, k) est dit en sens direct si on eut aligner les vecteurs dans la direction des doigts de la la façon suivante roduit vectoriel a pour propriétés V u – -u A V (anti-commutativité) la distributivité à gauche et à droite par rapport à l’addition : u A (v + w) = u A v + u A w u = v A u + w Au (au) A v = u A (av ) = A v) uAu LIA v (uy VZ — uZ , uZ — uX VZ , uX — uy VX ) Mode de calcul : uy PAGF s 6 de P tels que VP est orthogonal à AB et à AC 2.
Soit u un vecteur. On appelle projection orthogonale de u sur P le vecteur p orthogonal à VP et tel qu’il existe a avec p = u + avp Dans le plan muni d’un repère orthonormé, soit d une droite d’équation cartésienne ax + by + c = O. Alors, un vecteur directeur de cette droite est ud a) et un vecteur orthogonal à u et donc à d est vd (a, b). Dans l’espace muni d’un repère orthonormé, soit P un plan d’équation cartésienne ax + by + cz + d O. Alors un vecteur normal à p est VP (a, b, c) .
Continuité et dérivabilité Maintenant, nous allons décrire des propriétés locales des fonctions, c’est-à-dire nous nous donnons un point xo e Dfet nous étudions f à proximité de ce point. La première notion clé qui se dégage est la suivante : f est dite continue en xo si et xo el C Df (l intervalle) im f (x) = f(xO) 6 6 trait continu sur tout ! ! il faut toujours dire où la fonction est continue : en un point sur un intervalle Exemple a fonction inverse x 11x est continue en 1 mais pas en O.
Mieux, elle est continue sur R* 2. Les fonctions usuelles sont continues là où elles sont définies. Contre exemple La fonction de Heaviside (ou fonction échelon) n’est pas continue en O. La fonction partie entière n’est pas continue aux points entiers. Si f est continue sur un intervalle I , alors f (l ) est aussi un intervalle. Les fonctions obtenues comme somme, produit, quotient ( vec dénominateur non nul l) et/ou composition de fonctlons continues sont elles-mêmes continues.
Voici la deuxième notion clé pour l’étude locale des fonctions réelles • f est dite dérivable à gauche (rspt dérivable à droite) en xo f (x) -f(xo) rspt 7 6 local au global ! ). pour fixer les idées, si f est la fonctlon « distance parcourue est par un véhicule pendant un temps x », alors la « vitesse moyenne » de ce véhicule entre le temps xo et le temps x, et f (xo ) est la « vitesse instantanée » au temps xo (i. e. celle affichée par le compteur à l’instant xo Pour une f (x) -f(x0) onction quelconque f on appelle le taux d’accroissement de f entre xo et x.
La fonction racine carré est dérivable sur JO, mais pas en Les fonctions usuelles sont dérivables là où elles sont définies sauf éventuellement pour quelques points partlculiers (cf formulaire). Si la fonction f est elle-même dérivable, on peut calculer sa dérivée qui est appelée la dérivée seconde de f : f = (f) . En réitérant (en supposant qu’on peut le faire), on obtient la dérivée nème de notée f (n) .
Autrement dit, on a f (n) (f (n—l) ) En poursuivant l’exemple précédent, la dérivée seconde de la onction « distance parcourue » à un instant xo est « l’accélération instantanée » à cet instant PAGF sur une courbe deux points MO (xo , yo ) (dit point fixé) et M(x, y ) (dit point mobile : on va le faire tendre vers MO La tangente à C au point MO est, quand elle existe, la droite obtenue comme position limite de la sécante (MMC) ) quand M MO Dans la cas où C = Cf , on a MO (xo f et M(x, f Théorème Cf admet une tangente au point MO si et seulement si f est dérivable en xo .
L’équation de cette tangente est : Démonstration. est égal au coefficient directeur (ou pente) de la sécante (MO M) à Cf . Donc le taux d’accroissement admet une limite ssi la sécante admet une position limite : quand elle existe, cette limite est f (xo ) qui est donc le coefficient directeur de la tangente. On obtient l’équation de la droite en utilisant le fait que cette tangente passe par le point MO(XO, f(X0 On remarque que le taux d’accroissement Corollaire Supposons f dérivable sur un intervalle I . est croissante / décroissante / constante sur I si et seulement si respectivement O sur Formules de calcul des dérivées Vous êtes censés connaître les formules des dérivées des fonctions usuelles. PAGF 16 n a : (af+ bg) (fg ) (iv ) = af + bg (linéarité de la dérivation) -fg* fg fg -fg Si f est dérivable sur un intervalle I et g est dérivable sur l’intervalle f (l alors g f est dérivable sur I et on a : Fonctions réciproques et leurs dérivées Soit f une fonction réelle et E, 2 sous-ensembles de R.
On dit que f est une bijection de E sur F si EC R, F = f (E) et tout y c admet un unique antécédent x CE, i. e. f (x) = y . Dans ce cas, la fonction g définie sur F telle que g (y ) = x est dite bijection réciproque de f de F sur E On note f (—1) : R R cette fonction réciproque de f .
