Table des mati res Mesures 1. 1 Tribus . 1. 2 Fonctions mesurables 1 Classe monotone 1. 4 Mesures or29 Sni* to View 2 4 6 7 2 Int gration 2. 1 Int’ gration des fonctions positives 2. 2 Int’ gration des fonctions quelconques .. 2. 3 Radon-Nikodym 2. 4 Int gration par rapport a une mesure image p 2. 5 Espaces L . 3 Mesures de probabilit 3. 1 D ‘finitions . 3. 2 Vecteurs al • atoires 3. 3 Moyennes et in • galit • s 3. 4 Fonctions caract ‘ ristiques OF 3 OF tout ensemble Al x A2 , o’ Al e Al et A2 e A2 . La tribu produit Al 9 A2 ur Q est la tribu engendr’e par les pav•s. D’ finition 5 Soit Q un espace topologique.
On appelle tribu borelienne not’ e B(O), la tribu engendr’ e par les ouverts de n. Les ‘l’ ments de la tribu borelienne s’appellent des boreliens. 1. 2 Fonctions mesurables D *finition 6 1 . Soient (Q, A) et (E, B) deux espaces meusrables. Soit f une fonction de n dans B. On dit que fest mesurable si f -1 (3) CA 2. Si f est une fonction de n dans (E, B), on appelle tribu engendr e par f, not’ e off), la plus petite tribu qui rend f mesurable ; autrement dit o(f) = f 3. Plus g • n • ralement, si F est une famille de fonctions de n dans (E, B), on appelle min, la somme et le produit de fonctions num ‘ riques mesurables est mee surable. . Une fonction continue entre espaces topologques est borelienne. Theor me 1 Soit (fn ) une suite de fonctions mesurables de (Q, A) dans un espace rn’ trique (E, d) muni de sa tribu borelienne. Si fn converge ponctuellement vers f alors f est mesurable. D ‘ finition 8 Soit (Q, A) un espace mesurable. On appelle fonction « tag • e ( valeurs dans Rd ) toute combinaison lin ‘ aire de fonctions indicatrices de arties mesurables. Proposition 3 Toute fonction f mesurable de (Q, A) dans (R, B(R)) est limite d’une suite de fonctions « tag’ es.
Si f est positive, la suite peut -tre choisie croissante. 1. 3 Classe monotone D’ finition 9 Une famille M de parties de n est appel • e une classe monotone SI I. QEM, 2. si A, g e Met AC g, alors A -B e M, PAGF s OF suite croissante born•e de H est dans H. Theor me 3 Soit C un ensemble de fonctions r’ elles born ‘es sur Q, stable par multiplicae tion et contenant les constantes. Tout espace vectoriel monotone contenant C contient les onctions born ‘ es mesurables par rapport o{C). Lemme 1 Soit HO le plus petit sous espace vectoriel monotone contenant C.
Alors HO est stable par multiplication. Lemme 2 Si HO est un espace vectoriel monotone de fonctions born ‘es, stable par multie plication, alors il co « ncide avec )), o • )) est l’ensemble des fonctions born ‘e et mesurable pour la tribu o(HO 1. 4 D » finition 11 Soit (Q, A) un espace mesurable. Une application p de A dans R U est dite a—additive, si pour toute famille d • nombrable (Ai )iEl d’ • I ments de A deux deux disjoints, Ai ) = mesures positives. roposltion 4 Soii (Q, A) un espace mesurable et (An )nEl une famille finie ou d’ nombrable d » nsembles mesurables. . Si Al c A2 alors p(Ai ) 3. Si (Ai )iEN est une famille croissante d’ ‘l’ ments de A alors pc Ai ) = lim p(Ai iEN D ‘ finition 12 Soit f une application mesurable d’un espace mesur (n, A, p) dans un espace mesurable (E, B). L’a lication d ‘finie sur B par p (A) = Ll(f -1 (A)) est une PAGF 7 OF consid ‘r’ es sont d’ finies de cet espace dans (R, B(R)). ai IAi une fonction ‘tag’ e. On d’ finit D ‘finition 14 Soit f = D’ finition 15 On d’ finit f dp = sup de o’ g parcourt toutes les fonctions ‘tag ‘e positives v • rifiants g gf.
Pour une partie B e A, on pose f. iB dg. B 8 OF est finie. Pour une fonction fint• grable sur B, on pose B f dg = B f + dp — B Proposition 7 Pour f, g int grables sur B, et a, b des constantes r ‘ elles, alors la fonction : af+ bg est int• grables sur B et De plus si fg g sur B alors gd p Proposition 8 Soit g une fonction int grables, et (fn ) une suite de fonctions int’ grables. PAGF OF et dans ce cas, gdv f gde. D’ finition 17 Soient deux mesures p et v d ‘finies sur un espace mesurable (Q, A). On dit que v est absolument continue par rapport tout A e A, galit• p(A) O entra -ne v(A) O et on critv u}. si pour Si IJ est de loi uniforme sur JO, IL alors la fonction de r • partition de F ) est F Proposition 14 Si F — est une fonction de quantile, elle est continue droite et admet une limite gauche en tout point . 3. 2 Vecteurs al atoires D’ finition 24 Soit (Q, A, P ) un espace probabilit’. On appelle vecteur al » atoire une vae riable al atoire vaeurs dans R muni de sa tribu borelienne. D finition 25 On appelle fonction de r • partition de X la fonction
