Le Hollandais Volant Linux Windows Tutoriels Pokemon Divers Binaire et hexadécimal Ici, je v ous apprendr comptage binaire et erra aussi I a base 16 est I ‘hexadécimal , ai bases. Sommaire or 18 to View nextÇEge ropos du mode de es deux bases. On v n à toutes es I – Comment comptons nous en décimal ? Il – Le binaire 11. 1 – Présentation 11. 2 – Conv ersion du décimal en binaire 11. 2. 1 – Méthode 1 : les puissances de 2 11. 2. 2 Méthode 2 : les div isions euclidiennes par 2 11. 3 – Conv ersion du binaire en décimal Ill – l’Hexadécimal 111. 2 111. 3 111. Présentation Conv ersion du décimal en hexadécimal – Conv ersion de l’hexadécimal en décimal – Conv ersion du binaire en hexadécimal fait notre système en base dix. En effet, tout le monde sait compter en base 10. Cest pratique dans la v ie de tous les jours. Mals comment fonctionne notre mode comptage réellement ? Comment est construit notre système de nombres ? pour répondre à cela, oublions tout et reprennons depuis le début : comment av ez v ous appris à compter à l’école ? Ça peut parraître simple comme question, mais notre système de comptage suit une logique simpliste.
Sa compréhension est la clé ui v ous ouv rira ensuite la porte pour apprendre à compter dans n’importe quelle autre base. Dans la pratique, nous comptons en base 10. Certains diront que cette pratique est v enue du fait que nous av Ons 10 doigts. Il en découle principalement deux choses . converted by Web2PDFConvert. com Il existe 10 chiffres : O, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9. Av ec ces chiffres ont peut compter jusqu’à 9. (La plus haute v aleur des chiffres. ) Pour aller au delà de 9 il faut changer de rang . ?a v eut dire que si le rang des unités est plein, on commence le rang des dizaines et on remet les unités à zéro. Ensuite, on re- complète le rang des unités jusqu’à ce qu’il soit de nouv eau plein. Puis on ajoutera une dizaine et les unités seront de nouv eau remis à û, et ainsi de suite. Par exemple, arriv é à 19, le rang des unités est plein. On ajoute donc une dizaine et on remet à zéro le rang des unités : on arriv e donc à 20 18 plein. On ajoute donc une dizaine et on remet à zéro le rang des unités : on arriv e donc à 20. V ous me suiv ez ?
J’ai parlé de rangs des centaines, de dizaines et d’unités. On v Oit que une centaine v aut 10 dizaines et que une dizaines v aut 10 nités. Plus mathématiquement, un rang est égal e au précédent mul tipl ié 10. On peut dire que chaque rang est à une puissance de 10 supérieur au précédent. De cette manière, le nombre 56 = 50 + 6 mais que l’on peut aussi écrire 56 5*101 + 6*100 . Ce que je v iens de faire, c’est décomposer 56 en puissances de 10 (unités, dizaines, centaines On peut décomposer chaque nombre en puissances de 10 successiv es.
Par exemple, 3506 = 3×103 + 5×102 + 6×100 Av ec cette explication, v ous dev ez av oir compris qu’en base 10 : On change de rang dès que la précédente est à 9. On peut décomposer tous les nombres en puissance de 10. Si on décompose un nombre en puissances de 10, c’est parce que 10 est notre base. Ceci est important, car en base 2, il faudra décomposer en puissances de… Deux ! 2- Le binaire 2. 1 – Présentation Le binaire est le mode de comptage non plus en base IO mais en base 2 . Il est utilisé par les ordinateurs, car les machines ne peuv ent comparer que deux v aleurs : des 1 et des O. e v ous av ais parlé des rangs (unités, dizaines, centaines… ), et bien sachez qu’en binaire on emploie le mot « bit » (contractio (unités, dizaines, centaines… , et bien sachez qu’en binaire on emploie le mot « bit » (contraction de « binary-digit », signifiant simplement « rang binaire »). par exemple, le nombre en base 2 « 10011 » s’étale sur 5 bit. Là où cela se complique, c’est qu’en binaire chaque rang ne peut prendre que deux v al eurs (il pouv ait en prendre dix en décimal).
Donc, dès que le rang atteint sa deuxième — la plus haute — v aleur on change de rang. En binaire, un rang commence à O et se termine à 1. V ous pouv ez en comprendre que chaque bit représente une puissance de 2, tout comme chaque rang en base 10 est une uissance de 10. Bon, pour commencer et tenter d’y v oir un peu plus clair, on v a compter en binaire jusqu’à dix • v al eur en décimal : équiv al ent en binaire : logique ! simple . 2 IO 8 On entame le quatrième rang. 9 1001 On recommence au premier… 1010 On rempli les rangs. xpl ications : On procède de même. Il suffit d’appliquer une règle : entamer le rang suiv ant quand celui en cours est plein! Bon, pour compter jusqu’à 10 ou même 20, cela v a encore de remplir ce tableau, mals si je v ous demande de conv ertlr 450 en binaire ? V ous n’allez pas monter un par un, si ? Dans ce qui suit, on v a v oir une technique générale. 2. 2 – Conversion du décimal en binaire Pour le moment, on n’a compté jusqu’à dix. Mais on ne sait pas encore conv ertir . Sans plus attendre donc, v oici la conv ersion ! 2. 2. – Méthode 1 : les puissances de 2 pour y arriv er, on doit décomposer notre nombre en puissances de 2. C’est le même principe que la décomposition en puissances de dix, sauf que l’on ne décompose pas en millier dizaines, mais en PAGF 18 + 1×23 + 0x22 + 1 x21 + 0x20 (on ajoute les puissances de 2 qui manquent) 1 + 1×23 + 0x22 + 1 + 0x20 (voyez les puissances de 2 qui sont toutes là) 6= 1 x24 1×23 4 0x22 + 1 + 0x20 (en orange : notre nombre en binaire Il est important de ne pas oubl ier I es puissances dont I es coefficients sont zéro.
Finalement, pour obtenir le nombre 26 en binaire, il suffit de mettre les coefficients qui sont dev ant les puissances de 2 à la suite. On obtient : 11010. On écrit : (26) de cz (11 010) bin Je récapitule I a méthode : 2. 4. On a notre nombre en décimal . On e décompose en v al eurs de puissances de 2 Si certaines puissances manquent, on I es rajoutent en mettant O dev ant. On it I es coefficients dev ant I es puissances de 2, ce sera notre nombre en binaire ! . Par commodité, d’écriture, on regroupe I es chiffres par 4. (par ex : 101010101 se notera 1 0101 0101). On v erra pourquoi pl us I oin. . 2. 2 – Méthode 2 : les divisions euclidiennes par 2 Tout aussi simple à comprendre. Cette méthode est mieux pour des grands nombres et est lus facile à utiliser en programmation (il est facile d’en faire un (c’est soit un 1 soit un O). On refait la même chose av ec le quotient précédent, et on met de nouv eau le reste de coté. On re-itère la div ision, et ce jusqu’à ce que le quotient est O. Le nombre en binaire apparaît : le premier à placer est le dernier este non nul. Ensuite, on remonte en plaçant les restes que l’on av ait. On les place ? droite du premier 1.
Comme rien ne v aut un exemple Notre nombre est 164 164*2 – 82+0 82+2 41 *2 = 20+1 20+2=10+0 10+2=5+0 On v Oit apparaître notre nombre binaire en rouge ‘ . Il faut le lire de bas en haut Joli non ? 2. 3 – Conversion du binaire en décimal Dans l’autre sens maintenant : conv ertir un nombre en base 2 en un nombre en base 10 je v ous rassure tout de suite, c’est plus simple! Prenons le nombre (au hasard) : 101 01 IO. On v Oit qu’il s’étale sur 7 rangs, et sait que chaque rang correspond à une puissance e 2 : le premier (en partant de la droite ) est le rang O, le second est le rang 1, etc.
Pour le conv ertir en décimal, on procède de la manière suiv ante : on multiplie par 20 la v aleur du rang O, par 21 la v aleur du rang 1, par 22 la v aleur du rang 2, [… l, par 210 la v aleur du ran 10 etc. Pour notre nombre 101 01 0x20 + IX21 + IX22 + + 1×24 + 0x25 + 1×26 . Ensuite, il suffit simplement de remplacer les puissances de 2 par leurs v aleurs et de faire la somme : 0x1 + 1×2 + 1×4 + 0x8 + 1×16 + 0x32 + 1×64 = 86. donc : (101 0110) bin = (86) de c 3 – 11Hexadécimal 3. 1 – Présentation Après le binaire, v oici v enu une autre base : I e système hexadécimal qui trav aille en base 16.
Si v ous av ez suiv i jusqu’ici, v ous dev inerez qu’il faudra 16 caractères différents pour représenter chacune des 16 v aleurs. Cest alors qu’av ec une originalité déroutante, en hexadécimal, les caractères sont O, 1, 2 etc. jusqu’à 9 ainsi que A, B, C, D, E et F. V ous l’aurez compris : A en hexadécimal v aut IO en décimal, B v aut 11, . et F v aut 15. En hexadécimal, le changement de rang se fait donc à F. Ainsi E+l 10 (dire « un-zéra »). plus compliqué : F+B = IA. Ça va ? Alors passons à la conv ersion ! 3. – Conversion du décimal en hexadécimal La conv ersion d’un nombre de la base 10 en base 16 est aussi « facile » qu’av ec le binaire. Pour le binaire il fallait décomposer en puissances de 2, ici on décompose en puissances de 16. Ces puissances de 16 sont ? Alors ? Ok, je v ous donne les premiers : 160-1 161 -16 162 = 256 163 = 4096 8 prendrais le nombre 1680. Il faut donc commencer par le décomposer en puissances de 16 • 1680 6*256 + 9*16 + 1680 = 6×162 + 9×161 + 0x160 . La conv ersion en hexadécimal de 1 680 est donc 690 (lire « six- neuf-zéro »).
Un autre exemple : conv ertissons 2009 en hexadécimal : 2009 — 7×162 + 13×161 + 9×160 . Le nombre en base 16 correspondant ? 2009 est donc 709 (rappelez v ous, chaque rang peut monter jusqu’à 15 en base 16, et le Dv aut 13). Cest le même principe qu’av ec le binaire, le changement de base se fait juste à 16 au lieu de 2. 3. 3 Conversion de Ihexadécimal en décimal Dans ce sens, c’est plus simple : prenons un nombre : 4F2C. Il a 4 rangs : chaque rang est une puissance de 16 : pour conv ertir, on multiplie le premier rang (en partant de la droite) par 160 , le second par 161 etc.
Ainsi on obtient : F2C + FX162 +2×161 +01 60 4F2C 4*163 15<62 + 2<61 + 12x160 4F2C 4x4096+ 15x256 2x16+ 12x1 4F2C hex = 20 268 dec. Cest simple non ? Il suffit de prendre les puissances de 16 croissantes. 3. 4- Conversion du binaire en hexadécimal La conv ersion entre l'hexadécimal et le binaire est super facile si v ous sav ez manipuler ces bases entre les nombres O et 15. Prenons un nombre en binaire : 101 0011 1011. Notez que je l'ai séparé en blocs de 4 chiffres (comme on sépare les nombres en bloc de 3. Par exem le, 30000 s'écrit 30 de 4 chiffres (comme on sépare les nombres en bloc de 3. Par exemple, 30000 s'écrit 30 000).
Ceci nous simplifie la tache : en effet, on sait que 4 rangs binaires permettent de monter jusqu’à 15. Et bien, 1 rang en hexadécimal aussi ! (Cela v ient du fait que 24 (4 rangs en base 2) = 161 (1 rang en base 16)). De cette façon, 4 bits en binaire seront représentés par un rang en hexadécimal ! Ainsi, le premier quadruplet : 1011 dev iendra un seul rang en hexadécimal : = 11 en décimal = B en hexadécimal. Le second quadruplet 1011 0011 dev ient 3 en hexadécimal ; et finalement le dernier : 101 (ou 0101) dev ient: 5. Ainsi, (101 0011 1011)bin = (533)hex . 3. 5 – Conversion de Ihexadécimal en binaire
On v a utiliser le même principe que ci-dessus, à sav oir qu’un rang en base 16 correspond à 4 rangs en base 2. On conv ertira le nombre hexadécimal BE57 . On prend chaque rang que l’on conv ertit indiv iduellement en binaire : (B)hex (11)dec (1011)bin (E)hex (14)dec (1 110)bin (5)hex (5)dec (0 101 )bin (7)hex (7)dec (0 111)bin Prenez bien soin de mettre 0101 au I ieu de 101, car il ne faut pas se tromper quand on v a mettre es quadrupl ets bout à bout . BE57 1011 11100101 0111 4 – Généralisation à toutes les bases Cest tout aussi simple, mais on v a utiliser des mathématiques Notons simplement
