Johannes… la révolution Petite rubrique nécrologique du bonhomme: (d’après Wikipédia) Johannes Kepler (ou Keppler), né le 27 décembre 1571 à Weil der Stadt, dans le Bade-Wurtemberg et mort le 15 novembre 1630 à Ratisbonne en Bavière, est un astronome allemand célèbre pour avoir étudié l’hypothèse héliocentrique de Nicolas Copernic, affirmant que la Terre tourne autour du Soleil et surtout pour avoir découvert que les planètes ne tournent pas autour du Soleil en suivant des trajectoires circulaires parfaites mais des trajectoires elliptiques.
Les lois ! On va aller à l’essenti Je pense qu’avec l’act de Kepler sont relativ Svipe nextp g objets beaucoup plus corps célestes, ou pa ez saisi que les lois autour d’autres dynamique de Kepler a donc donné son nom à 3 lois bien particulières qui sont relatives à cette dynamique si particulière. 1ère loi: La loi des orbites dans le référentiel héliocentrique, le centre de chaque planète décrit une trajectoire elliptique dont le Soleil S est l’un des foyers.
Avec • a est appelé demi-grand axe de l’ellipse ; b est appelé demi-petit axe de l’ellipse ; et sont les foyers de l’ellipse. Une ellipse est formée par l’ensemble des points dont la somme es distances à deux points fixes est constante : . Les planètes du système solaire, sauf Mercure (qui n’est d’ailleurs plus considérée comme étant une planète), ont ont des trajectoires que l’on pourra considérer comme étant circulaires pour des raisons pratiques.
Oui je sais ce n’est pas bien de mentir mais il s’agit ici de mettre en évidence une propopriété particulièrement intéressante en fait… 2eme Loi: La loi des aires le segment de droite reliant le soleil à une planète balaie des aires égales pendant des durées égales. A noter : les aires des triangles SDE et SBC sont égales ; a portion d’ellipse DE est parcourue dans le même temps que la portion BC, ce qui implique que la planète va plus vite quand elle est proche dun foyer de l’ellipse que quand elle en est loin.
Attention cette loi de prime abord anodine est probalement la plus intéressante et la plus étrange à comprendre !!!! c’est celle que l’on essayait d’aborder avec le document final de l’activité de Kepler. 3eme Loi: Loi des périodes pour toute planète du système solaire, le rapport entre le carré de la période de révolution et le cube du demi-grand axe est le meme : Cte est appelée constante de la loi des aires. Elle ne dépend pas de la planète considérée, elle ne dépend que du Soleil dans le cas dune planète de notre système solaire.
Ellle dépend par contre de l’attracteur principal si l’on change de situation (la masse de la terre si l’on prend le cas de satellites autour de notre planète). Mais pourquoi ? bon j’en vois déjà qui vont me dire : mais elle sort d’où cette formule ? du chapeau magique ? Non rassurez vous nous ne sommes pas en SI ici… et puis dautres qui vont penser: Non pas encore des équations dans tous les sens 2 OF s et puis d’autres qui vont penser: Non pas encore des équations ans tous les sens !!!! Ben il en faut bien un peu me direz vous hein !
N’oubliez pas qu’en France on aime les beaux outils bien huilés et qu’on aime s’en servir un peu quand même ! Alors pour enfoncer le clou voilà une petit vidéo, un peu touffue certes (et avec une belle faute d’orthographe au tableau en plus) qui vous positionne dans le cas d’un satellite (Dysnomia… un gros caillou) orbitant autour d’un autre objet beaucoup plus lourd que lui (Eris… un très très gros caillou spatial). Ce calcul est parfaitement transposable à n’importe quelle planète se balladant autour de n Importe quel astre ! emple: mise en situation: Deux corps dont la répartition des masses m A et m B est symétrie sphérique, séparés d’une distance AB grande devant leur taille, exercent l’un sur l’autre des forces attractives et , de même direction, de sens opposés et de même valeur : avec vecteur unitaire orienté de A vers B Exemple : sur le dessin Appliquons la relation fondamentale de la dynamique à notre système. On note la masse de la Terre, la masse du Soleil et r est la distance séparant leur centre d’inertie. La seule force s’exerçant sur la Terre est la force de gravitation universelle :
Dans la base du repère que l’on va attacher à la terre : Selon : la force de gravitation étant radiale, elle n’a pas de composante sur cet axe : d’où Selon L’accélération du centre d’inertie de la planète Terre est radiale, centripète et indépendant de la planète elle-même. 3 de la planète Terre est radiale, centripète et indépendante de la masse de la planète elle-même. Or, dans la base vectorielle choisie (on l’appelle la base de Frenet) , Cela Implique que la vitesse de la planète est constante. Le mouvement est donc circulaire et uniforme. De plus, dans la base de Frenet„ on peut donc en déduire .
Soit Or, on sait que On en déduit : D’où la 3e loi de Képler • La constante ne dépend dans notre cas que de la masse du Soleil. Cest énorme et pour finir, le satellite qui nous tourne autour ou pas…. Bon vous avez tous plus ou moins une antenne parabolique (ou vous en avez eu une)… Vous savez pertinament qu’elle est totalement fixe et pointée sur un satellite particulier. Ce satellite est dit géostationnaire, c’est à dire qu’il tourne autourne autour de la terre avec la même vitesse angulaire que celle-ci. L’effet immédiat est: qu’il se déplace forcément très vite ! ‘on a toujours ce satellite au dessus de notre tête et qu’il apparait fixe dans le ciel Comment calculer sa position, son altitude de déplacement ? Pour étudier le mouvement du satellite quelconque autour de la Terre, il faut choisir : le référentiel : géocentrique, galiléen le système : le satellite. Appliquons la relation fon 4 OF s la dynamique à notre la force de gravitation universelle : On va utiliser une fois de plus le repère de Frenet : Selon le vecteur tangentiel : la force de gravitation étant radiale, elle nia pas de composante sur cet axe : Selon le vecteur normal . Or, dans la base de Frenet, .
La vitesse du satellite est constante. Le mouvement du satellite est donc circulaire et uniforme. De plus, dans la base de Frenet, , on peut donc en déduire, si on pose où h est l’altitude du satellite par rapport au sol • On a également la période de révolution du satellite • d’où (1) La vitesse et la période du satellite : caractéristiques du mouvement du satellite ; ne dépendent que de l’altitude de celui- ci, elles ne dépendent pas de la masse du satellite. Cas d’un satellite géostationnaire : un satellite géostationnaire est fixe (stationnaire) par rapport à la terre (géo).
Pour cela, il faut . qu’il décrive un mouvement circulaire uniforme dans un plan perpendiculaire à l’axe des pôles terrestres. Il évolue donc dans un plan équatorial (plan contenant l’équateur) ; qu’il tourne dans le même sens que la Terre autour de l’axe de ses pôles ; que sa période de révolution soit exactement égale à la période de rotation de la Terre autour de l’axe de ses pôles (24 heures environ). L’altitude à laquelle le satellite doit se situer pour satisfaire cette dernière condition est donc (avec la relation (1)) : ‘application numérique donne : soit environ 36 000 km.
