EXERCICES RESOLUS Exercice no 1 Déterminer la grandeur de la force F, agissant au point A. nécessaire pour maintenir la vanne carrée AB dans sa position fermée. La vanne est fixée en B par une rotule. Le liquide considéré est de l’eau ( = IO kN/ff13) On ne tiendra pas compte du poids de la vanne. Solution L’équation fondamen déduire . 7 p g ous permet de – Z, dans le cas de l’eau. En connaissant la valeur de la pression en un point, on peut donc en déduire les pressions en tout point dans le fluide. En A, à la surface « dite » libre règne la pression atmosphérique.
Cette pression vaut O si l’on travaille en pression effective. Dès lors, PA = po + ZA PB = po + ZB or 5-2-2 cos 450 = 1,586rn ZB = 5-2= 3 m po -O Donc PA = 1,586104 N/mzpB = 3 104 La distribution des pressions sur la vanne AB est linéaire entre A résultante R, appliquée en C. où « l » est la largeur de la vanne AB fournit le point d’application de la résultante par rapport à la grande base du trapèze (c. -à-d. B). NB. : ceci correspond à déterminer le centre de gravité du ha = hh — 2 m trapèze. Numériquement, on trouve : R = 45858 N. D 0,897 m.
L’équilibre des moments par rapport à B donne D’où c-à-d 20,572 kN Exercice n02 . IAB= La cloison AB séparant les deux réservoirs, représentés sur la figure 11 est fixée en A. Sa largeur est de 1,2 m. Le manomètre indique -1 N/cm2 (pression effective). On demande de déterminer la force horizontale à appliquer en B pour que la cloison soit en équilibre. On donne : 4,50 m he 1,50m l,’ celle-ci, on peut déterminer les pressions en tout point des liquides se trouvant à gauche de la cloison par la relation fondamentale de « hydrostatique.
Il reste à calculer l’équilibre des moments par rapport à A de toutes les pressions élémentaires s’appliquant à la cloison, et de ‘effort F inconnu. De nouveau, on remplacera d’abord les diagrammes de pressions par des résultantes et leur point d’application par rapport à A – à droite : – à gauche : L’équation des moments par rapport à A s’écrit : IABI + Rhuile . Ahuile Ralcool Aalcool + Reau . Aeau On en déduit que F = 23,2347 kN, dirigée de la droite vers la gauche. composée de 2 termes, un pour chaque liquide.
En éliminant P entre (1) et (2), on obtient : On constate que le nouvel enfoncement ‘Y » n’est pas fonction de la hauteur H de liquide « 2 » rajouté ! Ceci provient de la forme de l’équation fondamentale de ‘ hydrostatique! En effet, toute différence de pression n’est due qu’à une différence de niveau entre les points considérés. Remarque : le même résultat peut être obtenu en explic tant les diagrammes de pressions élémentaires agissant sur le flotteur, et en écrivant l’équilibre vertical des résultantes hydrostatiques et du poids.
On obtient L’équilibre horizontal est réalisé par symétrie. L’équilibre vertical conduit ? P+ d2 (H- (a (d2H + dly)S On peut donc constater que la poussée d’Archimède correspond bien à une résultante des composantes verticales de pression. Exercice no 4 La vanne d’un déversoir d’un barrage mobile a les dimensions suivantes : largeur : 2,5 m hauteur (mesurée verticalement Elle est inclinée de 300 sur articulée autour de l’axe de rotation situé en A. et s’appuie sur la butée E.
En se plaçant dans la peau du concepteur, il s’agit ici de déterminer la position de cet axe pour que la vanne bascule quand le niveau d’eau arrive à la cote (h + a). Déterminons le diagramme des pressions élémentaires. La résultante totale vaut et son point d’application est situé par rapport à E à : Pour que le déversoir bascule, il suffit que le point d’application e la résultante soit situé au-dessus de l’axe de rotation, c-à-d. : Donc, il faudra L’effort en E quand x = 1,50 m (c. -à-d. que la vanne ne bascule pas) se trouve par équilibre de la vanne. Equation des moments par rapport à A : R d) RE. ‘on pose : R = le poids du piston, on obtient pour le piston de gauche et de même pour le piston de droite: PA = PB, d’où : Pour déterminer la différence de niveau entre ces plans d’eau, il faut tenir compte du fait que les sas étant de section de même ordre de grandeur que les bateaux, le volume occupé par les bateaux modifie de manière non négligeable la hauteur d’eau ans le sas. (cfr le niveau d’eau dans votre baignoire quand vous entrez dans votre bain). Deux raisonnements sont possibles. 1/Quand le bateau flotte, il y a équilibre entre la poussée d’Archimède et son poids.
La surélévation « x » du niveau d’eau dans le sas, correspond au volume d’eau occupé par le bateau : Donc la variation de niveau entre les deux sas vaudra : Dès lors, la différence de niveau entre les plans d’eau sera donnée par : (la section des bateaux n’intervient pas). 6 OF l,’ verticales, et on les recompose ensuite (cfr « forces de pression sur une surface gauche), ) soit on intègre analytiquement les composantes verticales et horizontales sur la surface considérée. a) Décomposition des composantes horizontales et verticales Parfois, la surface gauche a une forme relativement simple.
Dès lors, il est aisé de calculer les résultantes des pressions horizontale et verticale. En ce qui concerne la résultante horizontale, il faut projeter sur un plan vertical la surface AB considérée et déterminer les pressions sur cette projection A’B’ (ou OB). OB = H En ce qui concerne la résultante verticale, elle correspond au poids de liquide situé en dessus de AB. La résultante totale vaut donc : Elle est inclinée d’un angle a sur l’horizontale: b) Intégration séparée des pressions horizontales et verticales Il est nécessaire de décomposer les pressions selon leurs composantes horizontales et verticales avant de sommer.
En effet, on ne peut additionner algébriquement des vecteurs de direction différente, ce qui est le cas quand la surface est gauche. appuyée par les extrémités de son axe à deux piles et leur transmet un effort horizontal dont on désire connaître la valeur. Déterminer aussi le poids minimum de la vanne, de façon à ce u’elle ne soit pas soulevée par la poussée hydrostatique dans les conditions indiquées. On admet que le déplacement est possible et que le frottement correspondant est négligeable.
Pour déterminer l’effort horizontal transmis aux piles, il suffit d’écrire l’équilibre horizontal des forces en présence. Dans le bief de gauche, toutes les composantes horizontales des pressions sont dirigées vers la droite. La section AE proJetée sur un plan vertical devient la section RE’, R sin IAE Donc la résultante vaut Fg = 1. 500 R2L. Dans le bief de droite, les composantes horizontales agissant sur a section sont dirigées vers la gauche, alors que celle agissant sur sont dirigées vers la droite! Il faudra donc distinguer les 2 cas.
En projetant les sections DC et AC sur un plan vertical, on obtient respectivement les sections D’C’ et CF. On notera directement que les ressions horizontales s’exerçant sur C’F’ sont égales et de s Elles s’équilibrent donc. BOF 450 kN Pour déterminer le poids minimum de la vanne, il faut écrire l’équilibre vertical des efforts à savoir le poids de la vanne et la poussée hydrostatique. La poussée hydrostatique verticale se déduit par la poussée ‘Archimède. Le volume de fluide occupé par la vanne est hachuré ci dessous.
Donc pour ne pas que la vanne se soulève, il faudrait: donc 1,877 – lom, P>751 kN Soit pour R – 2 m, L – Le même résultat peut être obtenu en explicitant les expressions des composantes verticales de pression sur la surface immergée de la vanne, et en faisant la somme par Intégration. Remarque :par analogie avec l’exercice n06,on peut intuitivement considérer la poussée d’Archimède comme étant un poids « négatif » de fluide qui se serait situé au-dessus de la surface considérée en l’absence de paroi.
Exercice n08 Dans un réservoir hémisphérique de rayon R = 1 m, contenant un 15 kN, flotte une sphère de certain volume d’eau de poids Pl – rayon r = 0,5 m. c-à-d Elle s’exprime par : R – V1 – -r-t+x x = R-r+t(l) De plus, le volume d’eau dans le réservoir pèse 15 kN. Donc Veau — 15kN avec Veau V2 -V1 (2) Enfin une condition de ‘flottaison » (équilibre vertical des efforts) s’écrit : p Arch. – Nous disposons donc de 3 équations pour 3 inconnues. Le volume d’eau Veau V2 – V1 V e al_l ¯ P[X2 (R -VB)] En éliminant « x » par la relation (1) et en remplaçant R et r par les aleurs numériques, on obtient : Veau p (0,75 t + 0,20833… Par la relation (2), on détermine aisément la valeur de t = 0,359 m La relation (3) nous permet de déduire . et donc le poids P de la bille : P kN Exercice n09 53879 rn’ Un caisson flottant fait office de quai dans une rivière. Il est relié à la terre par une passerelle pouvant supporter le passage de camions. L’effort transmis par la passerelle est appliqué au centre du caisson et vaut Pp (240 kN/m) (N. B. : l’effort est supposé réparti). Le poids volumique de l’eau de la rivière vaut 10 kN/m3. Le poids propre du caisso O kN/m). 0 7
