Terminale STG 201 0-201 1 ANNALES de bac sur la fonction ln Exercice 1 ( Pondichéry 2011) ( 5 points) Soit f la fonction définie sur l’intervalle [1 ; 8] par f (x) 30 ln(x) + 10 – 10X. 1. On admet que la fonction f est dérivable sur l’intervalle [1 ; 8] et on note f’ sa fonction dérivée. Montrer 30 – 10x que, pour tout réel x 2. Étudier le signe de tableau de variations p g 8] et en déduire le 3. (Recopier et) compléter le tableau de valeurs suivant. (On arrondira les résultats au dixième). 3 4 5 travaille à perte. Exercice 2 (Polynésie 2009) ( 4 points) Soit f la fonction définie sur [O, 5 ; 6] par f (x) = 2x — 3 — 4 ln(x).. On appelle C sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormal (ci-dessous). 2. Dresser, en justifiant, le tableau de variations de la fonction f. 1. Montrer que la dérivée f’ vérifie f’ (x) = 3. Montrer que la courbe C admet une tangente horizontale au point d’abscisse 2. On la note T . Donner une équation de la droite T 4.
En utilisant le graphique ou le tableau de variations montrer ue l’équation f (x) = O admet une unique solution notée xo dans l’intervalle [2 ; 6]. Donner, à l’aide d’une calculatrice, l’arrondi de xo à O, 01 près. 5. Déterminer une équation de la tangente Tl à la courbe C au point d’abscisse 1. Dans le repère, tracer les tangentes T et Tl à la courbe C. -2 lycée Bertran de Born – Périgueux 2 certain produit, O 12. Le bénéfice, exprimé en milliers d’euros, pour produire x tonnes est modélisé par la fonction f définie sur l’intervalle [O ; 12] parf (x) =
O, 5×2 – 55 ln(x 3). 1. f’ désigne la dérivée de f . Calculer f (x). Vérifier que f’ (x) – 2. Étudier, à l’aide d’un tableau, le signe def (x) dans l’intervalle [0; 12]. 3. En déduire le tableau de variations de f dans l’intervalle [O ; 12]. Exercice 4 (Pondichery 201 0) On considère la fonction f définie sur l’intervalle 5 ; 5] par f (x) = X2 – 9x + 14 + 1). Dans le repère ci-dessous, la courbe (Cf) est sa courbe représentative. On admet que la fonction f est dérivable sur l’intervalle [—0, 5 ; 5] t on note f’ sa fonction dérivée.
Partie A Avec la précision permise par le graphique, répondre aux questions suivantes 1. Déterminer f (O) et f’ (0). 2. Donner le nombre de solutions de l’équation : f (x) = 1, 5. Partie B 1. Calculer f’ (x). x+l 3. En remarquant que (x + 1) est strictement positif sur l’intervalle [-0, 5 ; 5], et à l’aide d’un tableau de signes déterminer le signe de f’ (x) puis les vari 3 ; 5], et à l’aide d’un tableau de signes déterminer le signe de f’ (x) puis les variations de f sur e même intervalle. 4.
Déterminer l’équation réduite de la tangente (T) à la courbe représentative de f au point d’abscisse O. 2. Vérifier que f (x) = 4 de 7 objets produits le bénéfice devient négatif (17 euros de perte). Exercice 2 2x – 4 2. Comme x > O, le signe de f (x) est celui de x Le signe de f’ donne les variations de f, donc la fonction f est croissante sur [2 ; 6] et décroissante sur [0,5 ; 2] 3. On vient de voir que f (2) = O : le coefficient directeur de la tangente à la courbe C est égal au nombre érivé f’ (2) = 0 ; donc la tangente au point d’abscisse 2 est horizontale. ne équation de T est y f ‘ 2) + f (2) 3-4 ln(2) 4. Sur [2 ; 6], la fonction croît de f (2) = 1, 772 à 1, 833. Conclusion : l’équation f (x) = O n’a qu’une seule solution xo sur l’intervalle [2 ; 61 . La calculatrice donne : f(4, 5) = -O, 02 et f(4, 6) = O, 1, donc < xo 6. f(4, 51) z -O, 005 et f(4, 52) O, 006 donc 4, 51 < xo<4, 52. f(4, 515. Donc la valeur arrondie à 10—2 est xo z 4, 51 lycée Bertran de Born - Pé S
