THEORIE DE L’INTEGRATION Gijs M. Tuynman 20 septembre 2007 2 Table des matie 2. 4. 6. 8. 10. 12. or 237 Sni* to View tribu sur n si elle v’ erifie les conditions suivantes : (ii) si, pour tout n e N on a Ane F, alors U An e F ; (iii) Si A c F, alors Q NA e En toutes lettres : une tribu contient l’ensemble vide et l’espace total et est stable par r’ eunion et intersection d • enombrables ainsi que par compl ‘ ementaire dans Q. Un couple (n, F) o u Q est un ensemble et F une tribu sur Q (on dit aussi que Q est muni de la tribu F) est appel’ e un espace mesurable.
Les el ements de F sont ppel es ensembles (F-)mesurables. 1. 2 Notation. Dans la suite on aura souvent l’occasion de parler du compl ‘ ementaire d’un ensemble. Pour all eger la notation on convient de noter le compl’ ementaire Q kA d’un ensemble A par AC, a ‘ condition que n soit l’espace total o • u se d’ eroule la discussion. pour toute autre diff’ erence d’ensembles A et B on continuera d’utiliser la notation A B. 1. 3 Exemples. Soit n un ensemble, alors il y a deux tribus ‘triviales » sur Q.
D’abord la plus petite possible {a, Q} qui ne contient que le strict minimum : le vide et le total. Et on a aussi la plus grande possible F PT)) qui contient tous les sous-ensembles de Q. Un autre exemple qu’on peut facilement construire dans le cas g’ en ‘ eral consiste a prendre un sous-ensemble A C O arbitrairement. Et alors la collection cas g • en eral consiste a prendre un sous-ensemble A c Q arbitrairement. Et alors est une tribu contenant 4 el ements (sauf dans les cas triviaux A quand elle ne contient que 2). 1. 4 Lemme.
Soit Q un ensemble et F c P(Q) une collection de sous-ensembles de n. Alors les propri’ et ‘ es suivantes sont ‘equivalentes. (i) F est une tribu sur Q. ii) F v • erifie les conditions suivantes : (ii) si, pour tout n E N on a An F, alors n An E F ; nEN (iii) F v’ erifie les conditions suivantes : (ii) si, pour tout n EN on a An E F, alors U An E F ; neN (iii) si A, BEF, alors A BEF; THÉORIE DE L’INTEGRA ION 4 1. 5 Lemme. Soit Q et deux ensembles quelconques et soit Fi une tribu sur Q pour tout l. Alors l’intersection G = n Fi est une tribu sur n. . 6 Lemme. Soit Q un e P(Q) une collection de si CC G, alors o(C) C G. efinition. Soit Q un ensemble et C c P(Q) une collection de sous- ensembles de Q La tribu o(C) d • efinie dans [1 . 6. iil par vec F = {FC P(Q) I Cc F et F est une tribu sur Q} est appel ‘e la tribu engendr ‘ ee par C. C’est la plus petite tribu sur Q qui contient C. 1. 8 Lemme. Soit Q un ensemble et C, D c P(Q) deux collections de sous-ensembles de n. Si C C D, alors o(C) C o(D). 1. 9 Exercice. Soit n un ensemble et soit C { {w} e Q) c P(Q) la collection de tous les singletons.
D • ecrire explicitement la tribu o(c) selon la cardinalit’e de n (finie, d’ enombrable, non-d ‘ enombrable). 1. 100 efinitions. Soit un ensemble et O C P(Q) une collection de sousensembles de n. On dit que O est une topologie sur Q si elle rifie les trois conditions (ii)01 , 02 e T 01 n 02 ET, (iii) si est un ensemble (d’indices) et si pour tout i E I on a Ai ET , alors UOiET. r • eunion (quelconque) d’ • el ements de B. On dit qu’un espace topologique (Q, O) a base d enombrable s’il existe une base B pour la topologie O qui contient un TRIBUS nombre d’ enombrable d » el’ ements.
Si A c Q est un sous- ensemble, alors la collection OA c P(A) d efinie par est une topologie sur A, appel ‘e la topologie induite sur A. 1,11 D • efinition. Soit (Q, O) un espace topologique. La tribu de Borel sur Q (aussi ppel ‘ ee tribu bor’ elienne), not’ ee B (ou B(Q) si on doit •etre plus pr• ecls, ou encore B(Q, O) si on dot -etre hyper pr ecis), est la tribu engendr• ee par les ouverts (de la topologie) : B = 0(0). Souvent les • el « ements de la tribu de Borel sont appel es des bor eliens, au lieu d’ensembles mesurables. . 12 Lemme. Soit (Q, O) un espace topologique. Alors tout ensemble ouvert et tout ensemble ferm e sont des bor• eliens. 1 . 13 IJtilisation du symbole E. Dans un calcul le symbole utilis- e dans le sens est identiquement ‘ egal a ; le plus souvent cela veut dire ue egalit•e est ne simple r’ e’ ecriture e ‘ efinition. est topologie. Alors la tribu de Borel B 0(0) est aussi engendre ee par B : B ± a(O) = o(B). 1. 15 Lemme/D• efinition. Soit (Q, F) un espace mesurable et A c Q un sousensemble quelconque.
Alors la collection FA c P(A) des traces des ‘el’ ements de F sur Ad » efinie par est une tribu sur A, appel ee la tribu induite sur A ou la tribu trace de F sur A. 1 . 16 Remarque. Si A CQ est mesurable (A E F), alors la collection FA est incluse dans F parce qu’une tribu est stable par intersection (d ‘ enombrable, en particulier finie). Par contre, FA n’est pas une tribu sur n, simplement parce que / FA (sauf dans le cas trivial A = Q). 1 . 17 Lemme. Solt (Q, F) un espace mesurable et A CQ un sous- ensemble. Si est engendr’ e par C c P(Q), alors FA est engendr• e par CA = {C n = o(C) FA = o(CA).
DE L’INTÉGRATION nous dit alors qu’on a l’inclusion FA c o(CA Pour montrer que G est une tribu, on note qu’on a les anA=c , Cnn A- (Gn n , • egalit es Sachant que o(CA ) est une tribu sur A, les trois propri et es d’une tribu (pour G) en d’ ecoulent imm ‘ ediatement. 1 . 18 Corollaire. Soit (Q, O) un espace topologique et A c Q un ous-ensemble. Alors la tribu de Borel sur A associ ee a la topologie induite OA est egale a la tribu induite sur A par la tribu de Borel sur Q associ ee a la topologie O • 1. 19D efinition.
La collection Bb c P(Rd ) des boules ouvertes dans Rd , avec BE (x) = {y Rd E}, est une base pour la topologie euclidienne sur Rd . Autrement dit, un sous-ensemble Oc Rd est ouvert si (et se ur chaque x E O on peut est de montrer d’abord que les pav » es ouverts d Jai , bi [ sont des ouverts pour la topologie euclidienne et ensuite que chaque boule est la r’ eunion de pav es ouverts. Alors un ouvert ‘etant ne r • eunion de boules et chaque boule ‘ etant une r’ eunion de pav’ es ouverts, on aura montr•e qu’un ouvert est une r’ eunion de pav’ es ouverts.
On commence donc avec la preuve que chaque pav’ e P = Jai , bi [ est un ouvert. Soit x E p arbltraire. Alors il existe E(x) > O tel que BE(x) (x) DESSIN Il suffit de prendre E(x) = min(bl —XI , XI — al r.. ad ) quand x = . bd -xd,xd— , xd) E Rd (voir dessin). On a alors les inclusions BE(x) (x) c p On a donc ‘egalit’e partout, ce qui dit que P est la r’ eunion de boules ouvertes, c’est- a-dire que P est un ouvert pour la topologie euclidienne. Soit maintenant BE (x) une boule et soit y c BE (x) arbitraire.
On pose 6 – C BE (X) . yEBE (X) On a donc • egalit•e partout, ce qui dit que BE (x) est la r’ eunion de pav es ouverts lai , bi 1. 21 Remarque pour les initi es. Le fait que les pav’ es ouverts forment une base pour la topologie euclidienne peut Aetre consid • er’ e comme une variante du fait 2 1/2 que la norme euclidienne x – est ‘equivalente a la norme xi max(lxl l, lxd l). 1. 22 Proposition. La topologie euclidienne sur Rd est a base d’ enornbrable, une base d enombrable Br etant donn ee par lai , , < bi Br = Preuve.
On sait d’ej a que les ‘el’ ements de rts ; il suffit donc, deux r’ eels il y a toujours un rationnel, ce qui veut dire qu’il existe qi , ri E Q tels que ai < qi < xi ri < bi . Alors on pose Qx = i=l ]qi , ri [ et donc, par le choix des qi , ri e Q on a Qx c p . On a alors les inclusions xEP On a donc 'egalit'e partout, ce qui dit que le pav' e avec bornes dans R est une r' eunion de pavi es avec bornes dans Q. 1. 23 Proposition. La tribu de Borel B(Rd ) sur Rd muni de la topologie euclidienne est engendr ee par l'une des collections suivantes au choix . Bp PAGF 37
