INSTITU NATIONAL POLYTECHNIQUE DE GRENOBLE RESOLUTION NUMERIQUE, DISCRÉTISATION DES EDP ET EDO Eric Goncalvès – septembre 2005 Table des matières I MODELISATION, DISCRÉTISATION ET SIMULATION NUMERIQUE or67 Sni* to View 1. 1 Qu’est-ce qu’un modèle ? 1. 2 Pourquoi faut-il modéliser ? . 1. 3 Quels sont les di érents modèles ? . Les ordinateurs 1. 7. 3 Petite chronologie 7 1. 6 1. 7 Il DISCRÉTISATION DES EDP 11. 1 LES TROIS GRANDES FAMI METHODES 11. 2 LES DIFFÉRENCES FINIES 10 ES DE 11. 2. 1 Principe -ordre de précision 11. 2. 2 Notation indicielle IO – cas ID. 16 11. 2. 1 Discrétisation de l’équation de la chaleur 2D tationnaire . 17 11. 3 LES VOLUMES FINIS . 11. 3. 1 Introduction 11. 3. 2 Volumes Finis pour une loi de conservation .. 11. 3. 2. 1 Cas monodimensionnel 11. 3. 2. 2 Cas bidimensionnel .. 11. 3. 3 Exemple simple ID avec conditions de Dirichlet . 11. 3. 4 Exemple simple ID avec conditions mixtes Dirichlet- Neumann 11. 3. 5 Discrétisation de l’équation de la chaleur ID 11. 3. 6 Discrétisation de l’équation de la chaleur 2D stationnaire _ 11. 4 LES ELEMEN S FINIS EN ID . 11. 4. 1 Introduction 11. 4. 2 Exemple Simple ID . 11. 4. 2. Choix des fonctions pi : les éléments nis 11. 4. 2. 2 Bilan…. . 11. 5 APPLICATION NUMERIQUE . 11. CONSISTANCE, CONVERGENCE ET STABILITE . 3 OF Ill RÉSOLUTION DES EDO REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES 20 21 24 27 28 29 32 33 35 36 37 39 PAGF s OF matériaux rares, instrumentations très cheres… ) et ils peuvent être très dangereux (essais nucléaires, environnement spatial… ). En n il peut être di Cile de mesurer tous les paramètres : échelles du problème trop petites (chimie du vivant, couche limite en uide… ) ou trop grandes (astrophysique, météorologie, géophysique… . On peut aussi construire un modèle mathématique permettant la représentation du phénomène physique. Ces modèles utilisent très souvent des systèmes ‘équations aux dérivées partielles (EDP) non-linéaires dont on ne connait pas de solutions analytiques en général. Il faut alors résoudre le problème numériquement en transformant les équations continues de la physique en un problème discret sur un certain domaine de calcul (le maillage). Dans certains cas il s’agit de la seule alternative (nucléaire, astrophysique, spatial… . Dans d’autres cas, les simulations numériques sont ménées en parallèle avec des expérimentations. 2Chapitre : MODELISATION, DISCRETISATION ET SIMULATION NUMERIQIJE 1. 4 De la modélisation à la simulation numérique Les di érentes étapes pour modéliser un système complexe : • Recherche d’un modèle mathématique réprésentant la physique. Mise en équation. • Élaboration d’un maillage. Discrétisation des équations de la physique. • Résolution des équations discrètes (souvent systèmes linéaires à résoudre). ?? Transcription informatique et programmation des relations discrètes. • Simulation numérique et exploitation des résultats. L’ingénieur peut être amen 6 OF L’ingénieur peut être amené à intervenir sur l’une ou plusieurs de ces di érentes étapes. 1. 5 Aspect ni des ordinateurs La solution exacte d’un problème d’EDO ou d’EDP est une fonction continue. Les ordinateurs ne connaissent que le ni et le discret. En e ectuant un calcul numérique, un ordinateur ne peut retenir qu’un nombre ni de chi res pour représenter les opérandes et les résultats des calculs intermédiaires.
Les solutions approchées seront calculées comme des ensembles de valeurs discrètes sous la forme de composantes d’un vecteur solution d’un problème matriciel. La représentation des nombres dans un ordinateur introduit la notion d’erreur d’arrondi ou de troncature. Ces erreurs peuvent se cumuler sur un calcul et la solution umérique nale pourra s’avérer très éloignée de la solution exacte. Exemple d’erreur d’arrondi : considérons un ordinateur utilisant 4 chi res pour représenter un nombre. Calculons la somme 1. 348+9. 999. Le résultat exact est 1 1. 347 et comporte 5 chi res.
Le calculateur va le preprésenter de manière approchée : 11. 35. Il commet une erreur d’arrondi ègale à (1 1. 5. 1 Représentation des entiers Les entiers sont représentés par une suite de bits organisés en octets. Par exemple un entier codé sur 2 octets occupera 16 bits (216 = 65536) et pourra réprensenter un entier compris entre -32768 et 32767. On parle d’entier sim le récision. Le type entier codé sur 4 294967296) perm PAGF 7 OF parle d’entier simple précision. Le type entier codé sur 4 octets (232 = 4294967296) permet la représentation des entiers compris entre -2 147 483 648 et 2 147 483 647. n parle d’entier double précision. Les opérations sur les entiers, dans la mesure où le résultat est un entier représentable par la machine, s’e ectuent exactement. 1. 5. 2 Représentation des réels ou nombres ottants Un nombre ottant s’écrit sous la forme X = a. bn où a est la mantisse, b la base et n l’exposant. par exemple, la représentation de avec 10 caractères est : 0. 314159 10+1 . Les 10 caractères sont répartis selon : 1 pour le signe, 6 pour la mantisse, 3 pour l’exposant dont 1 pour son signe. 1. Notion de stabilité La représentation standard des réels choisie par les prlncpaux constructeurs d’ordinateur est sous forme de nombre ottants où b = 2 et a, n sont deux nombres binaires. Un réel en simple précision occupe 4 octets (32 bits). Son exposant est stocké sur un octet (il prend toutes les valeurs entières entre -128 et +127), son signe sur un bit et sa mantisse occupe les 23 bits restants représentée part = 23 caractères binaires dl , dt avec dl – —l. Un réel X correspond au nombre suivant : x- dl d2 d3 BOF précision possible pour des calculs sur des nombres de l’ordre de l’unité sera : 2-23 1. 9 10-7 pour des nombres de l’ordre de 1000, la meilleure précision tombe à : 2-23 210 1. 22 10-4 un réel en double précision occupe 8 octets soit 64 bits : 1 bit de signe, 11 bits pour l’exposant et 52 bits pour la mantisse. On distingue trois types de stabilité • La stabilité d’un problème physique. • La stabilité d’un problème mathématique. • La stabilité numérique d’une méthode de calcul. 1. 6. 1 Stabilité d’un problème physique : système chaotique Un problème est dit chaotique si une petite variation des données initiales entraine une variation totalement imprévisible des résultats.
Cette notion de chaos, liée à la physique d’un problème, est indépendante du modèle mathématique utilisé et encore plus de la méthode numérique utillsée pour résoudre ce problème mathématique. De nombreux problèmes sont chaotiques, par exemple la turbulence des uides. 1. 6. 2 Stabilité d’un problème mathématique : sensibilité Un problème est dit tres sensible ou mal conditionné si une petite variation des données ou des paramètres entraîne une grande variation des résultats. Cette notion de conditionnement, liée au problème mathématique, est indépendante de la méthode numérique utilisée pour le résoudre.
Pour modéliser un problème physique qui n’est pas chaotique, on construira un modèle mathématique qui sera le onné possible. PAGF ç OF conditionné possible. 4Chapitre : MODELISATION, DISCRETISATION ET SIMULATION 1. 6. 3 Stabilité d’une méthode numérique Une méthode est dite instable si elle est sujette à une propagation importante des erreurs numériques de discrétisation et d’arrondi. Un problème peut être bien conditionné alors que la méthode numérique choisie pour le résoudre st instable. Dans ce cas, il est impératif de changer de méthode numérique. ar contre, si le problème de départ est mal conditionné, aucune méthode numérique ne pourra y remédier. Il faudra alors essayer de trouver une formulation mathématique di érente du même problème, si on sait que le problème physique sous-jacent est stable. 1. 7 Un peu d’histoire… 1. 7. 1 Avant les ordinateurs : les calculateurs Le mot calcul vient du latin calculus, qul signi e « petite pierre ». Les romains, comme beaucoup de peuples antiques, utilisaient couramment de petites pierres pour éviter de mémoriser les ermes d’une addition.
Cette pratique se perfectionna et donna naissance à la machine à calculer la plus ancienne connue : le boulier, ou abaque, qui fut d’une utilisation presque universelle jusqu’à tout récemment. Des machines mécaniques furent mises au point au Wlleme siècle. La plus connue est la pascaline, construite par Blaise pascal à l’âge de 19 ans pour soulager son père, collecteur d’impôts, du fardeau des calculs répétitifs. La machine, à base de roues dentées, ne pouvait qu’additionner et soustraire. Leibniz transforma la ascaline en une machine capable
