10. ALGÈBRE LINÉAIRE : MATRICES COURS MPSI R. FERREOL 11/12 B) MATRICES et G désignent toujours des K-espaces vectoriels.
RAPPELS : une matrice A à n lignes et p colonnes (ou de format (n, p)) à coefficients dans K est une application de dans K ; [Il, Pl] , A (i, j) est souvent noté de façon pour (i, j) e [Il, n indicielle aij , de sort Ij p all al 2 alp or 16 Sni* to View n an a22 a2P on la représente aussi par le tableau rectangulaire ail aij aip0, base de l’espace de départ et une base de l’espace d’arrivée, est la matrice dont les olonnes sont les coordonnées dans la base d’arrivée des images des vecteurs de la base de départ ; autrement dit el , n ) base de E si oc=fl, fp base de A (aij)l i pe Mpn (K) def alors A = mat (f) ]f(- 16 de – la matrice canonique de – la matrice canonlque de Dy ax 4 by + dy 0 ax + by + dy D est ex + fy ax by + cz dx + ey + fz R. FERRÉOL 11/12 F et d’une base de G.
Si donc, B est adaptée, p = projection de base F et de direction G, q = idE— p, s -p —q mat B (p) = , mat B (q) = – la matrice de la dérivation de KB [X] dans K2 [X] 6 combiné avec la propriété ci-dessus, c’est donc un Ceci signifie que l’application : COROLLAIRE : si les ev E et F sont de dimensions finies, L (E, ) est lui aussi de dimension finie et dim L (E, 2) Multiplication des matrices. a) Recherche de la définition. Le prodult des matrices va être défini de sorte qu’au prodult de deux matrices corresponde la composée des applications linéaires associées ; recherchons donc la matrice d’une composée d’applications linéaires. PROP : Si alors rac = fi fp base de F PAGF s 6 REM 1 : il est pratique de présenter le produit de 2 matrices sous la forme •
REM 2 : le produit matriciel n’est donc pas une 101 de composition interne dans l’ensemble de toutes les matrices, ni même dans Mnp (K) avec n = p ; par contre, c’en est une dans I ensemble des matrices carrées d’ordre n Mn (K) . REM 3 : le produit matriciel n’est évidemment pas commutatif puisqu’un produit peut être possible dans un sens et ne pas Hêtre dans l’autre. REM 4: le nombre le nombre dadditions pour effectuer (AB) (i, j) vaut de multiplications d’additions pour effectuer le produit AB vaut donc REM 5 : le produit d’une matrice-ligne (format (1, n)) par une atrice-colonne (format (n, 1)) donne une matrice de format (1, 1) , que l’on identifie avec son coefficient . 6 6 , „ bn]-C 1 i,jn c) Propriétés. a) Matrice d’une composée.
PROP (due à la définition même du produit des matrices) : B base de E , 0 C base de alors (g e f) = mat(CD) (g) x (f) D base de G ATTENTION : On n’a donc malheureusement qu’une relation de Chasles « à l’envers » 🙁 par contre, pour les endomorphismes, tout va bien 🙂 si f e L (E), B base de E , alors mata (g f) = matB (g) x matB (f) Mnp(K) B Mpq (K) alors (AB) C A (BC) C E Mqr (K) D4 (par les applications linéaires, et par le calcul). 4 10. ALGÈBRE LINÉAIRE . MATRICES 7 6 internes de composition externe à opérateurs dans K , et d’une loi , x, est dit posséder une structure de K-algèbre si 1. (E, +, x) est un K-espace vectoriel 2. (E, +, 4) est un anneau Exemples E2. REM : Si À E K (ME) * x, d’après 3.
DEF : une partie d’une algèbre E est appelée une sous-algèbre si c’est à la fois un sous-espace vectoriel et un sousanneau. D’après la remarque ci-dessus, on a la CNS : 2. VX, y GF x+yg_F DEF : si E, F sont deux K-algèbres et f une application de E vers F, f st appelée un morphisme de K-al èbre si c’est un morphisme d’anneaux PAGF . n, matrice colonne des coordonnées de — y dans C. Alors : D7 DEF : si A e Mnp (K) , l’application linéaire canonique associée à A est l’application : Mpl (K) (z K p) Mnl PROP : la matrice canonique de fA est la matrice A. CORO : si A et g e Mnp (K) , alors (K)AX BX)-A-B REM 1 : bien noter le VX ; si AX BXpour une seule X, même non nulle, on ne peut pas en déduire A B.
REM 2: on a également la relation : fAB = fA0fB. PROP : soit A G Mnp (K) dont les colonnes sont Cl , , Cp ; alors PAGF 16 noté GLn (K) D12 REM 1 : si L (E) on a donc fGGL (E) mata (f) GLn (K) 6 et si A E Mn (K), AEGLn (K) GL (K n) REM2:GLl REM 3 : rappelons qu’un élément « régulier » (ou « simplifiable ») de l’anneau Mn (K) est une matrice A vérifiant On sait qu’un élément inversible est toujours régulier, mais il se trouve que dans le cas des matrices, la réciproque est vraie (preuve dans l’exercice 16 sur les matrices) ; ceci explique pourquoi une matrice inversible est parfois appelée matrice « régulière ». 2) Cas n = 2 ab PROP : D13 Exemple : cos a sina
