Mathématiques – brevet de technicien supérieur session 2009 – groupement B Exercice 1 : (12 points) Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante. A. Résolution d’une équation différentielle On considère l’équation différentielle (E) : y » — 2y’ + y = Bex où y est une fonction de la variable réelle x, définie et deux fois dérivable sur R, y la fonction dérivée de y et y » sa fonction dérivée seconde. 1. Déterminer les solutions définies sur R de Péquation différentielle (EO ) : or 5 2.
Soit h la fonction d niz Démontrer que la fo l’équation différentiel ex . particulière de 3. En déduire l’ensemble des solutions de l’ quation différentielle 4. Déterminer la solution f de l’équation différentielle (E) qui vérifie les conditions initiales B. Étude locale d’une fonction Solt f la fonction définie sur R par f (x) = (4×2 représentative C dans un repère orthogonal est donnée ci-dessous. o — 4)ex . Sa courbe la tangente est parallèle à l’axe des abscisses. 2. (a) Démontrer que le développement limité, à l’ordre 2, au voisinage de O, de la fonction f est avec lim E(x) = O. b) Déduire du a) une équation de la tangente T à la courbe C au oint d’abscisse O. (c) Étudier la position relative de C et T au voisinage du point d’abscisse O. C. Calcul intégral Dans cette partie, les questions 1 et 2 peuvent être traitées de façon indépendante. a fonction f définie au début de la partie B est une solution de l’équation différentielle (E) de la partie A. Donc, pour tout réel x de R, f (x) — —f » (x) +2f’ (x) + 8ex En déduire une primitive F de la fonction f sur R. . (a) Donner, sans justification, le signe de f (x) sur l’intervalle [O ; (b) Dans cette question, on admet que la fonction F définie sur pa F (X) = (4X2 – 8X + 4)ex st une primitive de la fonction f Déduire de ce qui précède l’aire A, en unités d’aire, de la partie du plan limitée par l’axe des abscisses, la courbe C et les droites d’équation x- O et x 2 Exercice 2 : (8 points) Les quatre parties de cet exercice sont indépendantes On s’intéresse au chantier on d’un tronçon de TGV. écessitent la mise à disposition d’une flotte importante de pelles sur chenilles et de camions-benne. La réalisation de Vouvrage nécessite de grandes quantités de fers à béton. Dans cet exercice, les résu tats approchés sont à arrondir à 10—3 A. Loi normale On note X la variable aléatoire qui, à chaque pelle prélevée au hasard dans la flotte, associe le nombre de m3 de matériaux extraits pendant la première heure du chantier. On suppose que la variable aléatoire X suit la loi normale de moyenne 120 et d’écart-type IO. 1. calculer p(110 x 130). . Calculer la probabilité que la pelle extraie moins de 100 m3 pendant la première heure de chantier. B. Loi de poisson On note Y la variable aléatoire qui, à toute heure travail ée prise au hasard pendant la première semaine de chantier, associe le nombre de camions- benne entrant dans la zone 1 de hantier pour charger les matériaux. On suppose que la variable aléatoire Y suit la loi de Poisson de paramètre 5. 1 . Calculer la probabilité de PévènementA : « pendant une heure prlse au hasard, il n’entre aucun camion-benne sur la zone 1 du chantier. ? 2. Calculer la probabilité de févenement B : « pendant une heure prise au hasard, il entre au plus quatre camions-benne sur la zone 1 du chantier. » C. Loi binomiale binomiale On note E l’évènement : « un camion-benne pris au hasard dans la flotte n’a pas de panne ou de sinistre pendant le premier mois du chantier. » On suppose que la probabilité de l’évènement E est O, 9. On prélève au hasard 10 camions-benne dans la flotte pour les affecter à une zone de chantier.
Le nombre de camions-benne de la flotte est assez important pour que l’on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 10 camions-benne. On désigne par Z la variable aléatoire qui à tout prélèvement de ce type associe le nombre de camions-benne n’ayant pas eu de panne ou de slnistre pendant le premier mois de chantier. 1 . Justifier que la variable aléatoire Z suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres. 2. Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, aucun des 10 camions-benne n’ait de panne ni de sinistre pendant le premier mois de chantier.
D. Test d’hypothèse De grandes quantités d’un certain type de fers cylindriques pour le béton armé, de diamètre 25 millimètres, doivent être réceptionnées sur le chantier. On se propose de construire un test d’hypothèse bilatéral pour contrôler, au moment de la réception d’une livraison, la moyenne p de l’ensemble des diamètres en millimètres des fers ? béton. On note M la variable aléatoire qui à chaque fer prélevé au hasard dans la livraision, associe son diamètr PAGF
