82063CTPA0114 BTS Comptabilité et gestion des organisations Deuxième année Mathématiques Devoir 1 Problème Partie A Soit une suite géométrique (un) de premier terme uO et de raison 1,157. 1) Afin de déterminer utiliser la relation de géométrique de rais premier terme uO : u 2) Déterminons la so géométrique (un). u rs Sni* to View de n, nous allons Iconque un et le 57)n uo. rmes de la suite D’après le cours, S = Premier terme -1,15710 5710-1 1- raison nombre de termes ce qui donne S = ut) 1-1,157 57 1- raison 3) Déterminons la limite de la suite géométrique (un).
On sait, selon la question 1, que un 57)n uo. prix d’un article le 1er Janvier 2013. Déterminons le prix de cet article au 1er Janvier 2023 c’est-à-dire le prix au bout de dix années. Appelons PIO ce prlX. Remarquons que la suite qui nous intéresse dans cette partie est la même que celle étudiée dans la partie A. Nous avions alors trouvé que un = (1 57)n uO ce qui donne, avec nos nouvelles notations PIO = (1 , 1 57)10 PO. Sachant que PO = 100, on obtient : Pl O (1 57)10 X100 soit PIO 429,86 € (valeur arrondie). Au 1er Janvier 2023, le prix d’un article marqué 100 € le 1er
Janvier 2013 s’élèvera à environ 429,86 e. 4) Déterminons au cours de quelle année le prlX d’un article aura doublé par rapport à son prix PO au 1 er Janvier 2013. Soit Pr le prix final : Pr — -2 po. or, Pr = po ce qui permet d’écrire : 2 po = po Résolvons l’équation : (1,157)r 2 et pour cela, appliquons la formule ar -erlna. Ainsi, (1 57)r = 2 est équivalent à erln1,157 = 2 ce qui donne rln1,157 ln2 soit r = La valeur de r est Ini,157 d’environ 475. Mais r représentant un nombre d’années, nous allons retenir r 5.
Par conséquent , il est possible de conclure qu’au 1 er janvier 2018 le prix de l’article aura doublé par rapport ? son prix PO au 1er Janvier 2013. Problème 2 En est l’événement « Mr X est donateur en 20134n » et pn la probabilité de cet événement. 1) Si Mr Xa fait un don l’an PAG » OF d est donateur en 2013+n » et pn la probabilité de cet événement. 1) Si Mr X a fait un don Fannée n, la probabilité pour qu’il fasse un don l’année suivante n+l est égale à 0,9. On a donc En +1 / En ) = 0,9 En particulier, Monsieur X ayant donné en 2012,la probabilité pour u’il fasse un don en 2013 est 0,9.
Donc 0,9. Si Mr X n’a rien donné l’année n, la probabilité pour qu’il fasse un don l’année suivante n+l est égale à 0,4. On a donc En +1 / En ) — 0,4. 2) a) El est l’événement « Mr X est donateur en 2014 » Mr X peut être donateur en 2014 en ayant donné en 2013 ou bien en n’ayant rien donné en 2013. El est donc la réunion des 2 événements incompatibles El n EO b) On sait que p(E1/EO)- 82063CTPA01 d’Oti : El n El po = -081 c) El étant la réunion des 2 événements incompatibles El n EO et De même qu’en b) p( El n ED) = p (El ED) (1- PO) = x 0,04.
D’où Pl 0,81 40,04 0,85 La probabilité pour que Mr X soit donateur en 2014 est donc égale à 0,85. 3) En +1 est la réunion des PZGF3œFd ents incompatibles En +1 +1 n En ) En +1 +1 / En ) pc En +1 / En En ) pn +1 -0,9 pn +04 (1-pn) pn +1 = pn + 0,4 , pour tout entier naturel n 4) a) dans cette question, nous devons calculer p2 , p3 p4 , PS Pl = 0,85 p2 = 0,5 pl + pa = 0,80625 p5 = 0,803125 = 0,825 0,8125 b) D’après les calculs précédents, quand n augmente, les réels pn semblent décroître et se rapprocher de 0,8.
Il semblerait donc que la suite ( pn ) soit décroissante et ait pour limite 0,8. 5) Soit la suite ( un ) définie par : Pour tout entier naturel n, un = pn – 0,8 a) un +1 = pn +1 -0,8 = pn + 0,4- pn -0,4 = ( pn 0,8) = un pour tout entier naturel n, un +1 = un ( un ) est une suite géométrique de raison 0,5 . Son premier terme est uo = po -0,8 = – = 0,1. ( un ) étant une suite géométrique, son terme général s’exprime par un – x 0,5n = 0,1x 0,5n un – pn – 0,8, d’où : pn = un + 0,8, soit pn = 0,1 x 0,5n + pour tout entier naturel n , pn 1 x 0,5n +
