Chapitre 6 Intégration 1. Page d’ouverture • Énigme * Le domaine coloré en rose est constitué de différents rectangles. 1er rectangle : aire 2e rectangle : aire = ( orao Be rectangle : aire = ( 82 4e rectangle : aire = ( L’impôt dû vaut • = 326315 = 2 033,36 = 13 323 = 7 859,70 326,315 + 2 033,36 + 13 323 4 7 859,70 = 23 542,375 €. 5 a) II semble que la fonction f est toujours positive sur Vintervalle [-3 ; 4]. b) Pour tout x dans l’intervalle [-3 ; 4], e x et e x + 1 sont strictement positifs, donc f (x) l’est aussi. ) À l’aide de l’écran ci-après obtenu en ajustant la fenêtre graphique, on peut conjecturer que f(x) 0 g(x) sur 1-0 – C] Il ; + CIL f (x) C] g(x) sur 1-1 ; 01 et f(x) = g(x) en x • Enigme * * Vérifier les acquis L’aire du trapèze est égale ? = 4,5 unités d’aire 2 soit x 0,52 = 1,125 crn2. 2 a) L’encadrement le plus large est fourni par l’in2 tervalle ; 80[. Des encadrements plus précis sont possibles, par exemple l’intervalle ]52 ; 66[. 5X+3 4 x3 OF sur [- 1 ; 1], f (x) – g(x) C] O, c’est-àdire f (x) c’est-à-dire f (x) g(x). 3.
Activités d’approche ?? Activité 1 g(x) et sur 1 a) Le premier rectangle a pour dimensions : 0,25 et f (0,25) 0,252 0,062 5 donc il a pour aire 0,25 x 0,062 5 = 0,015 625. Le deuxième rectangle a pour dimensions : 0,25 et = 0,52 = 025 donc d’aire : 0,25 x 0,25 = 0,062 5. Le troisième rectangle a pour aire 0,25 x 0,752 = 0,140 625. La somme des aires des rectangles colorés en beige est 0,218 75. b) Avec une méthode similaire, la somme vaut 0,25 0,25 2 + 0,25 X 2 + 0,25 0,75 2 + 0,25 12 + 0,25 0,218 75 du a) = 0,468 75. c) 0,218 0,468 75. 7 1 000, l’encadrement permet e proposer une valeur approchée de 0,333 pour l’aire du domaine. c) L’affichage de l’aire sous la courbe est 0,333 333 333 3 ; cohérent avec ce qui précède. • Activité 2 a) La fonction rouge » est croissante sur [O ; 4] et décroissante sur [4 ; 8], donc sa dérivée est positive sur [O ; 4] et négative sur [4 ; 6]. Comme, par hypothèse, v f’, alors f est la fonction représentée par la courbe rouge. b) Le coefficient directeur du segment vert est . 50 -0=- 12,5 donc v (x) + b. Le point de coordonnées (O ; 50) appartient au segment donc v (x) — 12,5x + 50. Comme v(x) -12,5x + 50 et f’ (x) v (x), alors : f(X) 2 + 50X + C. Or le point O (O ; O) appartient à la courbe de f, donc c = O Alnsl, pour tout x de [O , 8], f (x) = — 6,25x 2 + 50x : polynôme de degré 2 dont la courbe parabole est cohérente avec le tracé rouge. d) • f(4)- f(0) = 100-0- 100. • L’aire sous la courbe de v entre les droites d’équation x = O et x = 4 est l’aire d’un triangle rectangle soit ici 50 200 – 100 . Les deux quantités sont égales. 4. Pour s’exercer 4 x 50 200 = 100 . Les deux quantités sont égales. 4.
Pour s’exercer b) a) fi (2x+ l)dx 2×3+ = 17 (3+2) PAGF s OF o IO 10 Pour tout x de 2e x (e x + 1) -ex x (2e x + 3) n f(x), donc g n’est pas une primitive de f sur 0. pour tout x de 1 3×2 + 4x-3×2 x 55x+5 donc F et G sont primitives d’une même fonction f sur 12 • Pour tout x de ; 4 6 OF c’est-à-dire – — + C —O donc Ce. La réponse est x x3 – x 2 • Pour tout x de IO ; + 15 10x 2 + lox= • On cherche C tel que pour tout x de IO ; + , C + FG) = 1, c’est-à-dire In e + 5e2+2+C 1, soit C -5e 2 – 2. La réponse est x Cl ln x + 5×2 – Se 2. 8 Les primitives de la fonction f sur l’intervalle sont 8 les fonctlons définies par : F(x) = ln x +x2-3x +C où C est un nombre réel. 19 20 21 -3 lnx+C F(x) = 5ex-x3+4x+C Une primitive sur 0 de f est : 7 OF (lnx) 2 F(2) = (ln – cohérent avec du logiciel de calcul formel. 25 28 f 2 -4x+ 5) = [x3-2×2 + 58 -1 29 30 1-2 (3t2- [t 3 -t] -2 = (2) 31 36 (3043) 52 qui corres3 10-0 – 1113 (x 2163) = 5203 pond à la valeur moyenne de f sur [O ; 10] • 520 52 . (x – 6) 2+8 – IO -OJO b) La droite tracée a pour équation y 89 PAGF OF 43 = f (2xex 2 +x + e x 2 +x ) dx par linéarité 43 f (t )dt – =5X2 – 13 dx = [ex 112 e2
