Fiche Exercices NO : 32002 MATHEMATIQUES Série S LE TALENT C’EST D’AVOIR ENVIE Fiche 2 : Les fonctions Calculer des limites Méthode : On commence par a l’un des théorèmes d comparaison) ? Dans la négative, il e yse or7 ctement appliquer cp tions, théorèmes de Sv. ige to nextÇEge à f (x) une nouvelle expression relevant de ces th or mes.
Cette nouvelle expression peut être obtenue en imposant à la variable une condition compatible avec la recherche de la limite : condition du type x > x O pour une étude en + m, condition du type x < x O pour une étude en - , condition du type 1x1 < a pour une étude en zéro On doit distinguer soigneusement la phase « recherche d'une expression convenable de f (x) » de la phase « passage à la limite les enchaînements du genre lim f (x) = lim g ( x) — sont prohibés car l'égalité xlima f (x) = xlima g ( x ) n'a de sens que lorsque l'on x 2+2x+5+ x pour tout x et a = 2X2+X+5- 2COS2x-1 pour x et a- 6 x pour tout x et a -+ Montrer qu'une droite est une asymptote oblique Selon le programme, l'équation de l'asymptote doit être donnée ou au moins suggerée. On se trouve alors face à l'étude d'une orme indéterminée du type « + Ne pas oublier que lim (f (x) a x) = b équivaut à x limm (f(x) (a x + b )) = O , avec a et b réels . Exercice 2 On considère la fonction f : x 4x2—4 x + 5 définie sur Déterminer la limite en + Exercice 3 Etudier la dérivabilité . a) de la fonction f définie par f (x) = xx pour x è O ; b) de la fonction g définie par g (x) = x 2—1 pour x g -1.
Optimiser Il s’agit d’étudier les variations d’une fonction pour établir qu’elle admet un extremum. Exercice 4 On désigne par (C) la courbe d’équation y = x 2 et par A le point de coordonnées (0,1). Déterminer le point B de la courbe, d’abscisse positive, qui est le plus proche du point A. Etablir une inégalité sur un intervalle Lorsque il est impossible de régler le problème par le calcul algébrique on met l’inégalité considérée sous l’une des deux formes f (x) O ou f (x) > O et on étudie les variations de la fonction f sur l’intervalle. En principe la fonction f est monotone sur l’intervalle et doit donc donner une image positive à l’une des bornes de celui-ci. Exercice 5 PAGF3C,F7 l’intervalle considéré.
Il est à noter que toutes les fonctions construites à partir des fonctions usuelles du rogramme de terminale S sont continues, et que démontrer qu’une fonction est continue en un point ou sur un intervalle n’est pas un objectif du programme (commentaires officiels du programme). Exercice 6 Résoudre dans l’équation 2 x 3—3×2 —36 x +2 —O. Utiliser une fonction auxiliaire g pour étudier une fonction f Lorsque f’ = g. k sur l’intervalle I où k est une fonction strictement positive sur l, et g une fonction dont on ne peut déterminer le signe par des moyens algébriques, on doit étudier les variations de g pour obtenir le signe de @ Tous droits réservés Studyrama 2010 Fiche téléchargée sur wwwstudyrama. com En partenariat avec : LE TALENT CEST D’AVOIR ENVIE Exercice 7 appartenant à [a b 12 tel que f (a’) f (b’) O est un encadrement de la solution de l’équation f (x) = O dans l’intervalle [a, b].
Exercice 8 Suite de l’exercice précédent. c) Montrer que 0,75 < a < 0,76. Encadrer f (a) lorsque la fonction f présente un extremum en a Dans cette situation, les variations de f ne permettent pas d'encadrer f (a), puisque de a < a < b, on peut seulement déduire f(a) < f(a) et f(b) < f (a) lorsque f (a) est un maximum, f (a) > f (a) et (b) > f (a) lorsque f (a) est un minimum. Pour régler ce problème, il suffit d’établir que l’on a f (a) = h(a) où h est une fonction monotone sur un intervalle J contenant a. En principe, la fonction h est donnée par l’énoncé, et pour établir l’égalité f (a) = h(a), le plus simple est généralement de calculer f (a) – h(a).
C’est alors la relation fla) = O (définissant a) qui permet de montrer que cette différence est nulle. Exercice 9 pour x appartenant à IO, 1]. 22x e) En déduire un encadrement de f (a) par deux décimaux dont la différence est 0,1. ) Montrer que f (a) = h(a) où h est la fonction définie par h(x) = Encadrer une solution d’un u type f et b n +1 = a n + (k +1) n n où k est l’entier naturel compris entre O et 9 tel que 10 fûan+knn0 x f Can + (k +1) n n , définissent deux suites adjacentes dont la limite commune est la solution de l’équation f (x) O dans l’intervalle [a, b]. • an +1 =an+ Fiche téléchargée sur www. studyrama. com monotone sur [a, b] et telle que f (a) f (b) < O.
Les instructions suivantes : • a 0 = aet bO=b, nan•bnc Cl < O alors an +1 = anetbn+l = n n sinon an +1 = n net b n + b n définissent deux suites adjacentes dont 2 02 c la Ilmlte commune est la solution de l'équatlon f (x) = O dans l'intervalle [a, b]. Un algorithme pour la dichotomie Avec les notations ci-dessus l'algorithme suivant calcule le plus petit rang n pour lequel b n —a n est inférieur à une valeur donnée, et affiche an, b n et n. Initialisation Affecter la valeur de la borne inférieure de l'intervalle à la variable Affecter la valeur de la borne supérieure de l'intervalle à la variable b. Affecter l'incertitude désirée à la variable e. Fiche téléchargée sur wvw.. stud rama. com
