Un rappel sur les matrices Patrice Wira université de Haute-Alsace Faculté des Sciences et Techniques 2000 – 2001 Sommaire Calculs matriciels (m algebra) 2. oru Sni* to View Représentation matricielle et notations… • • • • • • • • • • • • • • • L’addition . L’addition Propriétés de l’addition . 2 Exemples : l’addition et la soustraction matricielle multiplication matricielle 4 propriétés élémentaires de la multiplication matricielle……………… Quelques exemples… Un produit matriciel particulier : le produit de Hadamard 4.
Les produits Le produit interne. 6 Le produit vectoriel . 7 Le produit mixte…. Le produit externe Propriétés des produits scalaire et vectoriel . Interprétation géométrique 8 Exempl OF Exemples : 10 L’opérateur de transposition Propriétés élémentaires de la transposition 6. Matrices La matrice nulle — IO Matrice La matrice identité… Matrice triangulaire………. Matrices symétrique et antisymétrique… Matrice idempotente.. Propriétés de la matrice nulle . 11 Propriétés de la matrice nulle „ . „ . Propriété de la matrice 12 Matrices partitionnées… Le déterminant d’une matrice 13 Quelques propriétés du déterminant d’une matrice Quelques théorèmes — 9. Les mineurs, les cofacteurs et la matrice adjointe Les mineurs . 14 Les mineurs directeurs Les cofacteurs La matrices adjointe 15 . 13 Propriétés Exemples. Calcul du déterminant d’une matrice avec les cofacteurs — Cramer… 16 2ème cas, m < n — Calcul de la solution d'un système d'équations linéaires - Règle de 10. Matrice inverse et pseudo-inverse . 17 1er cas, m —n 18 Propriétés de la matrice inverse : Calcul de la matrice inverse :
Calcul de l’inverse d’une matrice partitionnée……. 19 3ème cas, m > PAGF s OF propriétés de la pseudo-inverse 20 Détermination récursive de la pseudo-inverse (théorème de Propriété Gréville): . Le Lemme d’inversion matricielle (The matrix inversion Lemma) Le noyau d’une matrice . 21 Résolution de l’équation AXB — . 20 11. Indépendance linéaire de vecteurs, la singularité 12. Le rang d’une matrice 22 propriété • 13. La trace d’une matrice 23 14. La norme . 6 OF .. 22 La norme La norme vectorielle La norme matricielle 24 15.
L’orthogonalité 25 propriétés „ Quelques théorèmes 16. Valeurs et vecteurs propres propriétés 26 17. Diagonalisation d’une matrice Intérêt de la diagonalisation — 27 puissance n-ème d’une matrice… 7 OF 18. Formes 28 19. DéfinitiVité 20. Changement de base 29 Définition d une base…. Application : plusieurs repères dans l’espace Application : les axes principaux d’une ellipse 21 . Matrice racine carrée . 34 Les fonctions vectorielles (matrix calculus) 36 La différentiation et l’intégration par rapport à un . 30 33 scalaire .
Quelques propriétés sur la dérivation Définition d’une fonction ectorielle PAGF OF 37 Le gradient d’une fonction La Jacobienne d’une fonction ve cto rie Ile. • • • • • • • • • • 38 La Hessienne d’une fonction scalaire La dérivation chainée 39 Expansions en série de Taylor et de Maclaurin. Expansion en série de Taylor d’une fonction scalaire multivariable Série de Taylor à deux variables 40 Série de Taylor à une variable (à l’ordre Série de Maclaurin à une variable (à l’ordre Série de Maclaurin à deux 41 . 39 Expansion en série de Maclaurin d’une fonction scalaire multivariable…. ?? Bibliographie. ?? • • • • • 42 Annexe Calculs matriciels (matrix algebra) 1. Représentation matricielle et notations Une matrice est un tableau rectangulaire d’éléments, généralement des nombres ou des fonctions. Ces grandeurs sont généralement des réels ou des complexes. Dans la suite, nous ne considérerons que des grandeurs réelles. Une matrice A de dimension m*n est notée A R m*n . Cette matrice est une matrice de m lignes et de n colonnes . Dali A=nn ai] ami alnn amn l_Jne matrice V qui ne comporte qu’une seule colonne, V E R 1 est appe é un vecteur colonne :
