Baccalauréat C Amérique du Nord juin 1998 E XERCICE 1 5 POINTS Afin de créer une loterie, on met dans une urne n billets différents (n supérieur ou égal à 3), dont deux et deux seulement sont gagnants. 1 . Dans cette question, on choisit au hasard et simultanément deux billes dans l’urne. a. On suppose ici n le nombre de billets gagnants probabilité de X . b. On revient au cas Sni* to vieu aléatoire qui donne terminer la loi de ou égal à 3. Calculer la probabilité notée pn , d’avoir exactement un billet gagnant armi des deux choisis. . Dans cette question, on choisit au hasard deux billets dans cette urne en remettant le premier bilet tiré avant de tirer le second. a. On suppose Ici n = 10. Y désigne la variable aléatoire qui donne de billets gagnants parmi les deux choisis. Déterminer la loi de probabilité de Y . b. On revient au cas général avec n supérieur ou égal à 3. Calculer la probabilité, notée q n d avoir exactement un billet gagnant parmi les deux un entier naturel no tel que pour tout n supérieur ou égal à no , itpn—qn< 10—3. . pour obtenir exactement un billet gagnant en choisissant deux billets de cette loterie, est-il préférable de les tirer simultanément ou de les tirer l'un après l'autre en remettant le premier billet tiré ? Exercice 2 5 points Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct O, u, v, (unité . pour 2 chaque point M du plan, d'affixe z, Ml d'affixe ZI désigne l'image de M par la rolT tation de centre O et d'angle , puis M ' d'affixe z l'image de Ml par la translation de vecteur — u.
Enfin, on note T la transformation qui à chaque point M associe le point M’ graphique : 4 cm), on donne les points A et B d’affixes respectives 1 et PAG » OF d précisera le centre et le rayon, privé de deux points. Tracer (E). 3. Dans cette question on pose z = 1+ i. a. Vérifier que M appartient à (E). Placer M et M sur la figure. b. Calculer le module de z . c. Calculer l’aire, en cm2 , du triangle OM M ‘ Problème 10 points On désigne par n un entier supérieur ou égal à 2 et on considère les fonctions, notées n qui sont définies pour x appartenant à l’intervalle IO ; + par : 1 + n ln x Partie A l) Étude des fonctions f n 1 .
Calculer f n’ (x) et montrer que l’on peut écrire le résultat sous la forme d’un quotient dont le numérateur est n -2 – 2n ln x. 2. Résoudre l’équation f n’ (x) = O. Étudier le signe de f n’ (x). 3. Déterminer la limite de f n en -Fm. 4. Établir le tableau de variations de la fonction f n et calculer sa valeur maximale en fonction de n. Il) Représentation eraphiq PAGF3CFd s fonctions f n . Le plan
