Équations de Maxwell Equations de Maxwell 1 Opérateurs différentiels 1. 1 Le gradient 1. 1. 1 Définitlon Définition Le gradient permet de construire un champ de vecteur à partir d’un champ scalaire. En coordonnées cartésiennes, il est donné par : grad 0 m C] nuynn D oxo n ClzCl org Sni* to View Interprétation physlque Le vecteur grad 0 m C] est normal aux surfaces de niveau (m — constante). Il est dirigé vers les valeurs croissantes de m. 1 . 1. Champ de gradient Un champ de vecteur a est dit champ de gradient si il existe une fonction scalaire m telle que : a û gradDm0 partielles de a sont bornées dans V alors : S C diva dV Interprétation physique : La divergence représente le flux sortant d’une surface fermée localement par unité de volume. 2014/2015 Diane Cabaret de Alberti 1. 3 Le rotationnel 1. 3. 1 Définition Le rotationnel permet de construire un champ de vecteur à partir dun champ de vecteur.
Cl E]anayC] Cl Clax naz D rota]DzD uy0 C] Cl uz contour fermé localement par unité de surface. 1. 4 Le laplacien Le laplacien permet de construire un champ scalaire à partir d’un champ scalaire. Cl C]2m 0 Cl C]2m nm 002000200020 Le laplacien permet aussi de construire un champ de vecteur ? partir d’un champ de vecteur. an Dax ex Clay ey D Cl Claz ez L’équation de Laplace Om = O traduit le fait que la solution m est toujours égale à sa moyenne prise sur un voisinage.
Sdxdt û SdX En utilisant la définition du courant, la variation de charge pendant dt est égale ? njx La conservation de la charge électrique se traduit par Sdx n x, tClSCl no nnjnnnjynncjzn On introduit l’opérateur divergence tel qu’en cartésien : div j C] On retrouve alors l’équation locale de conservation de la charge divjOO Principe de conservation de la char e électrique La charpe électrique est u onsen,’ative. Ce principe Ce champ électromagnétique est créé au point M à l’instant t par la distribution C] , j .
Il est régl par les quatre équations de Maxwell dans le vide . Équation de Maxwell-Gauss (MG): dive Équation de Maxwell-Ampère (MA): rot B n O Équation de Maxwell-Thomson (ou flux) (MT): diva O (10) Equation de Maw,’elI-Faraday (MF): rot E 10 Remarques : anoj Stokes La conservation de la charge à partir de cette équation locale nous donne : div rot 4 Mais il y a contradiction avec la conservation de la charge en régime variable : div j 0 C On introduit donc un courant fictif nommé densité de courant de déplacement jD tel que :
Sa signification physique est la suivante : un champ électrique dépendant du temps est, au même titre qu’un courant, une source de champ magnétique L’équation de Maxwell-Ampère ex rime la forme généralisée du théorème d’Ampère : *AGF 6 rif q que le champ électrique est à circulation conservative : n ECI no 5 Équations de propagation des champs dans une région vide de charges et de courants Dans le vide, en absence de charges et courants, on peut simplifier les équations de Maxwell tel que • (MG rot BO O Alors, pour le champ électrique, en utilisant l’équation de Maxwell-Faraday (12) 02 E grad
