1- NTRODUCTION 1-1 Définitlon : Un système logique est dit combinatoire si l’état de sa sortie ne dépend que de l’état de son entrée. Le système combinatoire ne doit donc pas présenter de réactions de la sortie sur l’entrée, de sorte à ce que l’état de la sortie ne dépende pas de l’histoire du système. A tout instant, on peut représenter logiquement un système combinatoire en fais table de vérité. par exemple, la table est donnée par Code gray (entrée) Code binaire (sortie) 000 001 011 010 110 111 IOO 101 or 11 et des sorties : la ray-binaire sur 3 bits our High et niveau bas (L) pour Law.
Pour chacun de ces niveaux, il est possible d’appliquer l’une des 2 conventions de logique présentées dans le tableau ci-après. CONVENTION DE LOGIQUE NIVEAU POSITIVE NEGATIVE Niveau Haut Niveau Bas Dans la plupart des ouvrages ou documents constructeurs, la convention de logique appliquée, sauf mention contraire, est la convention de logique positive. 2 – FONCTION LOGIQUE ET OPERATEUR BINAIRE : 2-1 Organisation fonctionnelle d’une fonction logique : l_Jne fonction logique traduit la relation qul existe entre les états logiques des variables d’entrée et de sortie.
L’organisation fonctionnelle est donnée ci-contre. L’expression de la sortie est le résultat de la fonction logique 2-2 Opérateur binaire : La réalisation concrète de fonctions logiques met en œuvre des opérateurs logiques ou opérateurs binaires. Dans un opérateur binaire, les variables d’entrée et les variables de sortie sont des variables binaires liées entre elles par des fonctions définies qui caractérisent la fonction de l’opérateur binaire. 3 – DEFINITION ET REPRES ‘UN OPERATEUR BINAIRE . PAGF 11 représentation schématique normalisée de l’opérateur. Selon la norme NF C 0. 2, le symbole représentatif d’un opérateur logique est constitué d’un rectangle, dans le tiers supérieur duquel est placé l’un des signes distinctifs suivants : 1, L’entrée ou les entrées de Popérateur se situent généralement ? gauche et la sortie à droite. Le signe o qui figure éventuellement sur la sortie indique sa négation logique. 3-3 — Schéma à contacts : Chaque contact concrétise, par ses deux positions, les deux états d’une variable binaire d’entrée. Représentation des contacts électriques • Contact ouvert au repos : Il est identifié par le repère de la variable se lit : a
Contact fermé au repos Il est identifié par le repère de la variable avec au-dessus une barre Se lit b barre ou non b Inverseur Il est représenté avec un contact ouvert et un contact fermé au repos Table de vérité Pour les opérateurs binaires de la logique combinatoire (dans lesquels à une combinaison d’états des entrées ne correspondent qu’un état de la sortie) la t précise toutes les 11 combinaison des entrées donne une valeur logique (O ou 1) à la sortie suivant la fonction logique qui va être décrite. -5 Chronogramme : Le chronogramme est une représentation graphlque qui permet e visualiser, en fonction du temps, toutes les combinaisons détats logiques possibles des entrées avec l’état correspondant de la sortie. 3-6 Equation logique : L’équation logique traduit, selon les règles de l’algèbre de Boole, la relation qui lie entre elles les variables de sortie et d’entrée. Le signe = traduit une égalité d’état entre les 2 membres de l’équation.
Dans chaque membre, les variables peuvent être associées pour des opérations : De produit logique, ET, par les symboles x, 0, qui se lisent ET De somme logique, OU, par le symbole + qui se lit OLI De négation logique, NON, par le symbole — qui se lit NON ou BARRE 4 – OPERATEURS BINAIRES DE LOGIQUE COMBINATOIRE • En logique combinatoire, à une combinaison d’états des variables dentrée correspond un seul état de la sortie.
OPERATEUR OUI Opérateur Schéma à contacts Symbole NF OUI ou opérateur EGALITE La sortie est dans ‘état 1 si et seulement si l’entrée est dans rétat La sortie S est à Pétat 1 si et seulement si e est à l’état 1 PAGFd0F11 nécessiter la mise en œuvre d’un nombre important d’opérateurs binaires qui doivent être Interconnectés. On désigne par logigramme ou diagramme logique la eprésentation graphique de l’assoclation de plusieurs opérateurs binaires. -2 Décodage d’un logigramme : Décoder un logigramme consiste à rechercher la ou les combinaisons d’états des variables d’entrée qui affectent l’état logique 1 à la sortie. Plusieurs méthodes sont applicables dont la démarche équationnelle et l’exploitation de la table de vérité. 5-2-1 – Démarche équationnelle : La méthode consiste à établlr les équatlons logiques de la sortie de chacun des opérateurs binaires constitutifs du logigramme ; l’expression équationnelle du dernier opérateur étant eprésentative de l’équation du logigramme.
L’équation du logigramme est : S (el . e2) + e3 5-2-2 – Exploitation de la table de vérité : La table de vérité, relative aux constituants du logigramme, met en évidence les combinaisons d’états pour lesquelles la sortie est à l’état logique 1. Dans une table de vérité, le nombre N des combinaisons est égal à 2n avec n le nombre de variables d’entrée : N = 2n. Ex : table de vérité ci-contre. Le nombre d’entrée étant n = 3, le nombre de combinaisons est N 23 8.
Les 5 dernières combinaisons d’états de la table de vérlté correspondant au ogigramme précédent affectent ‘état logique 1 à la sortie S. L’équation de S s’écrit alors : S = (. e2. e1) + (e3.. ) + (e3.. e1) + (8. e2. ) + (8. e2. el ) Après simplification de l’équation récédente, on trouve : S s 1 6 OPERATIONS BOOLEENNES OU OPERATIONS LOGIQUES : La mise en œuvre des propriétés de l’algèbre de Boole permet d’obtenir la plus simple expression équationnelle de tout problème de logique. 1 – Propriétés et opérations élémentaires Propriété ou opération Equation Commutativité Associativité Distributivité 6 1 Application du MLJX : Il est possible de créer des fonctions de la ogique combinatoire sur es entrées de sélection en affectant aux entrées de données des valeurs logiques : Application du DEM UX : Décodage d’adresses d’un système informatique (Opération de lecture – écriture des données entre processeur et les autres composants (Mémoire, US) . Ill.
Décodeurs et Encodeurs : Décode un mot binaire. Il a n entrées et m E 2n sorties mutuellement exclusives (chaque combinaison d’entrée n’active qu’une seule sortie). Différents décodeurs peuvent être conçus (1 à 2, 2 à 4, 3 ? 8, Dans la table de vérité, on remarque que pour chaque ombinaison d’entrées, il y a une seule sortie à 1 (celle indiquée par le « nombre binaire » en entrée). Synthèse avec décodeurs Toute fonction binaire f(xl ut être réalisée très plus petits.
Exemple: Décodeur 4 à 16 (w, x, y, z) construit avec deux décodeurs 3 à 8. Décodeur 4 à 16 à l’aide de 2 à 4: Encodeurs Produit (encode) un mot binaire. Effectué l’opération inverse d’un décodeur. Il a m E 2n entrées, devant être mutuellement exclusives, et n sorties (mot binaire de n b PAGF B1 de suite, nous obtenons un résultat sur quatre bits S et une retenue r3. Considérons la cellule symbolisée sur la figure 2, comptant deux entrées A et B les deux bits à sommer et deux sorties D le résultat de la somme et C la retenue.
Figure 2 Ce circuit, qui permettrait d’effectuer l’addition des deux bits de plus bas poids est appelé demi-additionneur (Half-Adder). Ecrivons la table de vérité de celui-ci : c Table 1 PAG » 1 écrire pour S et C les expressions booléennes suivantes Nous pouvons simplifier l’expression de C en utilisant un tableau de Karnaugh Figure 6 Nous en déduisons . C=AB+AR+BR Le bit de carry est égal à 1 si au moins deux des entrées sont ?
D’autre part, nous pouvons remarquer qu’intervertir les O et les 1 dans la table 2 revient à permuter les lignes 1 et 8, 2 et 7, 3 et 6,4 et 5. La table de vérité reste globalement invariante par inversion des entrées et des sorties, nous avons donc : A partir de cette relation, nous pouvons écrire Ce qui nous permet de réécrire l’expression de S : La figure 7 donne un exemple de réalisation d’un additionneur 1 bit basé sur deux portes AOI (AND OR INVERT), c’est-à-dire un ensemble de portes ET suivies d’une porte NON-OI_J. Figure 7 Addition en parallèle .
