Création Nicolas Vaillant, modifications M. guisine — Mathématiques – LI Gestion & CFA MATHEMATIQUES APPLIQUEES AUX SCIENCES DE GESTION Licence 1 GESTION & CFA Année universitaire 2013/2014 (Semestre 1) Document 1 Pré-requis Connaissances élémentaires en mathématiques. Objectifs Ce cours n’est pas un cours de « mathématiques pures D, mais un cours d’initiation aux utilisés en économie finance, comptabilité, production, marketin Pédagogie or 17 Sni* to View acroéconorme, et de la c appliquée.
Douze Cours/TD sont programmees durant le semestre. Chaque chapitre fait référence à un thème ou un problème pécifique rencontré en économie ou en sciences de gestion. L’objectif est de présenter l’outil mathématique correspondant, à travers le traitement de diverses applications.
Organisation par semestre • 12 séances de Cours / TD Cl Evaluation sur 2 interrogations écrites, un partiel de 2 heures (? mi semestre), effectué avec la promotion complète, un examen terminal de 2 heures (en fin de semestre), effectué avec la promotion complète Quelques références Gérald BAILLARGEON, Introduction à la programmation linéaire, Les EDITIONS SMG Michel PIERMAY, Mathématiques financières, ECONOMICA
Alain PLANCHE (2003), Mathématiques pour économistes, 3 ème édition, BUNOD Jean-Pierre POSIERE, Mathématiques appliquées à la gestion, GUALINO EDITEUR Patrick ROGER (2006), Mathématiques pour l’économie et la gestion, PEARSON Education Les exercices réalisés en cours sont des exemples directs d’application ou des illustrations de cas intéressants. Les enseignants d’attendent à ce que les étudiants utilisent un ouvrage complémentaire d’exercice. Se contenter de refaire les exercices vus est insuffisant. Nous vous conseillons de lire les exemples et les exer ices présentés en ligne sur icampus.
Création Nicolas Vaillant, modifications M. 3uisine – Chapitre 1. ELEMENTS D’ECONOMIE MATHEMATIQUE Rappels sur les fonctlons, les dérivées et leur utillsatlon LES FONCTIONS Une fonction numérique f d’une variable réelle est une application définie d’un ensemble Df inclus dans et qui prend ses valeurs dans 0. On la note : f: PAG » 7 en exposant ; par exemple, y05x,yC2x01 , f cxû04û7x, ROx Ce type de fonction est couramment utilisée en mathématiques financières : considérons que la valeur d’un investissement de 1000€ croisse au taux de l’an ; au bout de x années, la valeur acquise est y 1000(1 , 1) x€.
Si x —5 années, cette aleur est 1610,5€. En économie ou en gestion, de nombreuses quantités croissent à un rythme exponentiel : par exemple, la population dans une ville, la valeur d’un investissement… La forme générale d’une fonction exponentielle est y Cl a x. Le terme a prend le nom de base. Si a 1 , la fonction a l’allure (croissante) décrite dans la figure de gauche, et si a C 1, son allure (décroissante) est celle décrite à droite : Quelques propriétés 1-am0anÜam0n 4-aOD1 2-am/anna 5-ann[] 1/ an n a mon 6_ substances radioactives….
Une fonction intéressante pour des économistes ou des gestlonnaires est la fonction : elle eprésente très bien ‘évolution d’un produit dans le temps. Prenons l’exemple l’iPod : rare au début, il connaît une phase de croissance exponentielle avant que le marché ne soit saturé. Graphiquement, son évolution a l’allure suivante : L’équation de ce type de fonction est y 1 Obe ocx 1 . 2. Les fonctions logarithmiques Les fonctions dont la croissance est d’abord rapide, puis de plus en plus faible, peuvent être approximées par des fonctions logarithmiques.
L’équation logarithmique y C log a x est simplement une façon différente d’écrire l’équation exponentielle ay C] x ; le nombre a est la ase du logarithme et de l’exponentielle. es graphiques des fonctions logarithmiques et exponentielles sont très similaires : Les logarithmes sont utilisés pour résoudre des équations exponentielles. Considérons par exemple un investissement de 1000€ placé au taux d’intérêt annuel de 10%. On sait que la valeur acquise de ce placement est y C] x Combien de temps le capital doit-il resté placé pour rapporter 2000€ ? our répondre à cette question, il suffit simplement de résoudre l’équation 2000 D 1 x . Il faut simplement pour cela connaitre deux propriétés PAGFd0F17 fonction : a loga x propriété : e log x et loga a 0 x. Si la base este le logarithme est dit népérien (noté ln ), et par C] x et ln e x 0 x. Autres propriétés • 1- loga mn loga m 0 logan 3- loga m n C] n log am 2- loga D log am C logan Revenons dans notre exemple. On peut simplifier l’équation que l’on cherche à résoudre en divisant les membres de gauche et de droite par 1000 : 2 0 (1,1) x . On écrit ensuite cette expression sous sa forme logarithmique : x logl,1 2 .
A ce stade, on utilise la formule du changement de base, qui permet de réécrire un logarithme de base b en un logarithme de base a plus facile à manipuler (généralement 10 ou e ) : og a m log b m C] log a b Dans notre exemple • 0 7,27 2. point de la courbe. Techniquement, cette pente se calcule comme suit : pente lim hÛO Où h désigne une quantité additionnelle infinitésimale de la quantité x. Cette formule correspond à un calcul de dérivation, que l’on note f 00x 0 f prime de x »),y C] y prime ou encore dy dx . Illustrons ce calcul en nous appuyant sur l’exemple d’une courbe de demande.
Il existe une relation entre les quantités de demandées x d’un bien quelconque et le prix p de ce bien ; on 4 dit que les quantités demandées sont une fonction du prix : P f (x) . Supposons que l’on onnaisse l’équation de cette courbe de demande (qui nous donne graphiquement l’allure de la courbe) : P f ( x) C] x 2 . Le calcul de la dérivée de cette fonction peut être effectué en calculant h Déterminons d’abord fox 0 ho : 2 Remplaçons : est f 00x Cl Cl nx no 1 . Par exemple, la dérivée de 301 03×2 ; dérivée de f 0x D 0x3/ 4 est f DC]x D La dérivée d’un terme constant, par la dérivée de définition, est nulle.
Il est souvent utile de transformer une fonction dans une forme facilement manipulable. Par exemple, 1/ x nn xDn , ou xm C xm/ n . Certaines fonctions peuvent se révéler fastidieuses à dériver. Par exemple, la fonction y 0 ( x 2 û 5) 4 est élevée à une puissance importante, si bien que sa dérivation doit être effectuée en deux temps : d’abord, la développer : x 8 20 x 6 150 x 4 D 500 x 2 C] 625 ; ensuite, dériver terme par terme. Il existe une solution bien plus simple, définie par la formule suivante . 01 f xC] , alors y SI y avec f 0x C une fonction di érivable) et n un nombre PAGF 7 3 Substituer les valeurs x a , y C] b et m dans la formule y C] mx b) Etape 4) Résoudre Péquation pour b et écrire l’équation pour la ligne tangente Illustrons ce principe : Supposons que la relation de court terme ntre la côte de popularité y du premier ministre (en pourcentage de satisfaction) et son temps d’exposition médiatique x (en minutes par jour) puisse être décrite par l’expression y C] 02 x 3 n x 2 n 4 x 3 , représentée cidessous : Calculons la droite de tangente de cette courbe au point (1 ,-2) Etape 1) on calcule f Etape 2) On recherche la droite de la tangente au point (1 ,-2), on calcule donc m Of ODIO soit mn Soit m Etape 3) on calcule 2 C Û8(1) b, soit b 0 6 Étape 4) L’équation de la ligne de tangente au point (1 ,-2) s’écrit y 08x 06 2. 2. 3. La règle du produit et la règle du quotient Considérons la fonction composée du produit de deux fonctions : ya fox g Oxo. Calculer la dérivée d’un prodult de deux fonctions (y en l’occurrence) ne revient pas à calculer le produit de leurs dérivées respectives. On vérifie d’abord que les fonctions f Ûx et g Cx sont dérivables, puis on calcule ensuite : 02×2 Solt yo 04002×0 1002×0 SOitYC Considérons à présent une fonction construite comme le quotient de deux variables : y C] f 0x 0 g 0x C .
La dérivée de ce type de fonction est obtenue ? l’aide de la formule suivante prenons, à titre d’exemple, la fonction y C] 04 x Cl IC] x 2 C] 3 En posant f D 04 x J 1 et g n x 2 n 3 , on trouve aisément que f’ 6 La dérivée de y Cl ln x est y . De la même manière, on trouve que la dérivée de y 0 ln Cl f Cx est yo C] Le fait qu’une fonction logarithmique « annule » une fonction exponentielle nous permet de trouver la dérivée d’une fonction de type y C a x, où a est un nombre positif différent de un. On sait que a 0 e ln a (C e loge a ) , ce qui nous permet d’écrire que a x e ln a ; or on sait que am Da mon, ce qui nous permet d’écrire ax 0 ex Ina . Comme e f Cx dérivée f 0 DefCx0 , la dérivée de ax peut alors s’écrire : ya C] mln a 17 a pour
