17 ème Congrès Français de Mécanique Troyes, – septembre 2005 Reconstruction d’un modèle CAO à partir d’un modèle éléments finis déformé Vincent Francois*, Abdelmajid & Borhen *Département de Génie Mécanique LJniversité du Québec à Trois-Rivières 3351 des forges – cp 500 – Trois-Rivières – Québec – canada francois@uqtr. ca **École Nationale d’I Laboratoire de Génie 5019 Monastir Tunisi abdel. benamara@eni Résumé : or 10 Sni* to View Dans un contexte d’ingénierie simultanée, l’intégration entre les différentes étapes de modélisation devient de plus en plus une nécessité.
En effet, les problèmes d’intégration s’avèrent les premiers responsables de la perte de temps durant la phase d’optimisation. Le travail présenté dans ce papier s’inscrit dans le cadre de fintégratlon CAO, FAO et Calcul, nous proposons une démarche de reconstruction des modèles CAO à partir des résultats d’une analyse éléments finis dans le cas élastique. L’application au cas élastique permet en réalité de montrer les résultats de l’étude de faisabilité de la démarche globale et complète. Abstract . the elastic case. This work shows the total and complete step’s feasibility. Mots-clefs :
CAO, BREP, maillage, éléments finis, les surfaces simples, Surfaces NURBS Introduction Le domaine de la modélisation numérique a fait l’objet depuis plusieurs années de nombreuses recherches afin d’augmenter la productivité des différentes méthodes utillsées. Ces recherches aboutissent à des gains appréciables tant au niveau des algorithmes de calculs qu’au niveau de la construction des maquettes numériques. En effet, construire un modèle numérique était (et est encore dans certains cas) la phase la plus fastidieuse et la moins productive lors de l’emploi de la modélisation numérique en phase de conception.
Une des solutions employées pour améliorer cette phase est l’utilisation des modèles et des outils de la Conception Assistée par Ordinateur (CAO) pour construire un modèle numérique. C’est ainsi que des recherches ont été menées afin d’aboutir à un modèle unique comprenant des informations relatives à la CAO et des informations relatives au calcul De plus, en associant les travaux sur la Fabrication Assistée par Ordinateur (FAO), un modèle global et intégré de conception est défini Les recherches que nous effectuons s’inscrivent exactement dans cette voie.
En effet au cours 10 ré-optimisé d’un maillage tétraédrique (support de tous calculs numériques 3D). Un des problèmes rencontrés est la conservation de l’intégrité du modèle. En d’autres termes, un changement d’une information sur une partie du modèle ne doit pas détruire le lien avec l’autre partie et l’ensemble de l’information doit toujours représenter le même objet. Ainsi, nous avons travaillé successivement sur différents points pour améliorer l’intégrité du modèle . – proposition d’un modèle intégré [2]. création automatique du maillage 3D pré-optimisé à partir du modèle solide CAO [2]. Le aillage est calculé en prenant en compte des propriétés mécaniques de Pétude (caractéristiques de forme et de surfaces) – procédure de mise à jour du maillage lors d’un changement du modèle CAO par l’utilisateur Nos travaux actuels convergent vers la création d’une procédure de mise à jour du modèle CAO lors d’un changement significatif de forme (déformation) du maillage résultant d’une analyse par éléments finis.
Pour réduire l’ampleur des travaux, nous avons décomposé notre objectif en deux en différenciant le cas de l’élasticité linéaire et le cas général de l’élasto-plasticité. Cette distinction est faîte non pas pour répondre à des considérations mécaniques mais uniquement pour réduire, dans un premier temps, le nombre d’opérations géométriques ? effectuer. Nous présentons dans ce papier les résultats du cas de l’élasticité linéaire.
Au travers de ce cas, nous décrivons dans ce papier un objectif essentiel : montrer la faisabilité et valider nos idées du cas général des études élasto-plastiques. 2 idées Intégration CAO/Calcul : État de l’art Les travaux proposés dans ce papier sont issus d’une collaboration de deux équipes de echerche (LGM de l’ENl de Monastir-TUNlSlE et le Département de Génie Mécanique de l’UQTR – CANADA) qui travaillaient indépendamment l’une de l’autre sur ce thème d’intégration CAO/FAO/calcul.
Ainsi de part et d’autre des travaux avaient déjà été effectués. D’une part les travaux réalisés par François [2] consistent à décrire un modèle d’analyse numérique intégré à la CAO qui repose sur une extension des fonctionnalités du modèle BREP (Boundary D’autre part, BenAmara [7] propose un modèle unique (figure 1) intégrant à la fois des informations géométriques (CAO) et echnologiques (Sollicitations, cinématique, matériaux, etc. ) et étant capable de supporter l’intégration CAO/Calcul.
Techniques de reconstruction du modèle CAO à partir des résultats d’analyse Dans le cadre de ce travail, la limitation aux cas des déformations élastiques amène une hypothèse de travail : une déformation élastique est par nature très faible, elle n’affecte pas la topologie de l’objet. En revanche, les caractéristlques de chacune des surfaces varient. La problématique consiste alors à recalculer les caractéristiques géométriques du modèle à partir d’un aillage déformé. En ce sens, ce travail est différent et complémentaire des travaux semblables déià effectués.
En effet, le autres travaux de cette 0 retrouver une topologie à partir d’un maillage connu 1] ou de trouver une surface F IG . 1 — Modèle intégré passant par un nuage de noeuds [12][13] . Ce travail se rapproche également des outils nécessaires aux travaux d’ingénierie inverse [14]. L’hypothèse de travail permet également d’affirmer que la nature des surfaces ne changent pas entre le modèle déformé et le modèle non déformé. Cette hypothèse quoique que restrictive st réaliste puisque une déformation élastique est souvent inférieure à 10—4.
Cependant, des cas d’élasticité linéaire restent problématiques. Par exemple une poutre en flexion subit un déplacement important au centre et la nature des surfaces n’est pas conservée. Deux plans avant déformation deviennent deux NURBS après déformation. Le travail consiste donc sous ces hypothèses de reconstruire les différentes surfaces du modèle qui sont définies par un paramétrage du type x(u,v). On distingue deux types de surfaces Les surfaces classiques. Ce sont des surfaces simples (Planes, Cylindriques, Coniques,
Toriques). Elles sont définies par des fonctions mathématiques simples. – Les surfaces complexes. Ce sont, soit une interpolation, ou une approximation d’un nuage de points. Elles représentent les surfaces les plus générales qui permettent de modéliser n’importe quel objet quelque soit sa topologie et la nature de ces surfaces [51. Ces surfaces sont les NURBS qui se déc ieurs versions de PAGF s 0 surfaces de Bézier, les surfaces B-Spline et les surfaces NURBS [15]. L’algorithme général développé est très simple (figure 2).
Il s’agit de reconstruire les éléments du modèle BREP un par un. En tenant compte des hypothèses de travail, le nombre d’entités et la nature de celles-ci sont connus. Cependant au niveau de la reconstruction des arêtes, il faut revenir à la définition d’une arête pour éviter un problème commun. En effet dans un BREP une arête est l’intersection unique de deux faces. Or, il se peut fort bien que si l’arête est reconstruite Indépendamment des deux faces, celle-ci ne soit pas exactement l’intersection des deux faces.
Des erreurs numériques peuvent empêcher l’exactitude du calcul. Pour cela, la définition d’un BREP est reprise. Ainsi l’algorithme consiste ? econstruire toutes les surfaces porteuses de chacune des faces puis de déterminer chaque arête par intersection des surfaces puis chaque sommet par intersection des arêtes. Le BREP déformé n’est pas obtenu aussi directement que l’algorithme précédent le laisse croire. En effet pour reconstruire une face, rensemble des surfaces et l’ensemble des arêtes doivent être tout d’abord recalculés.
Ensuite à partir de la version de la face non déformée, les arêtes qui forment les contours d’une face sont identifiées. La face déformée est obtenue à partir de la surface déformée et des contours identifiés mais rlS dans leurs états déformés (figure 3). Pour cela les méthodes de construction classique présentes dans un logiciel de CAO 17 ème Congrès Français de Mécani ue PAGF 10 Français de Mécanique Déplacements des noeuds de la face F IG . 2 — Algorithme développé F IG . – Construction de la face déformée sont utilisées : 1 . Dans le cas d’une surface plane les méthodes de CAO utilisent un pont d’insertion et un vecteur normal, Ce dernier est déterminé en calculant deux vecteurs directeurs non colinéaires du plan en utilisant les coordonnées de trois noeuds de contour après déformation. Un noeud lié à un sommet est utilisé comme point d’insertion (figure 4). 2. Dans le cas de la surface cylindrique, une extrusion d’un cercle est utilisée.
Le rayon du cercle est ajusté de manière à interpoler au mieux les noeuds appartenant au cercle. L’axe d’extrusion est calculé en déterminant un vecteur qui est dévié par rapport à l’axe du cylindre non déformé selon la valeur des déformations (figure 4). La surface conique est construite de la même façon. 3. Pour les surfaces toriques et sphériques, elles sont créées selon le même modèle que la surface cylindrique. L’opération d’extrusion est remplacée par une opération de révolution. 0 principe, Vidée d’utiliser l’intersection de deux surfaces pour construire chacune des arêtes des contours n’est pas une garantie de succès. En effet pour reconstruire le modèle BREP, cette intersection doit être projetée dans l’espace paramétrique de chacune des surfaces. Or cette projection peut donner un résultat différent sur chacune des deux faces. Dans le cadre de nos hypothèses des déformations élastique, le problème a toujours eu une solution si le déplacement n’excède pas un millième de d’une longueur caractéristique de ‘objet. L’intersection entre les surfaces : les surfaces classiques sont définies dans l’espace paramétrique par une application de vers 3 Elles ne sont donc pas bornées. Utiliser l’intersection de ces surfaces pour retrouver les arêtes du modèle peut faire apparaître des arêtes superflues. En effet deux surfaces peuvent s’intersecter plus d’une fois. Dans le cadre de nos hypothèses, l’identification des arêtes du modèle déformé permet de sélectionner la bonne intersection. Il n’en est pas de même lorsque le modèle déformé a subi un changement topologique.
Problèmes causés par l’utilisation des NIJRBS : un test de généralisation en utilisant les NURBS a été mené de façon manuelle c’est à dire que la recherche des points de contrôle de la surface a été réalisée à l’aide d’un calcul manuel. Une difficulté d’utilisation des NIJRBS a été mise à jour : interpoler par une NIJRBS un nuage de noeuds irréguliers comme l’est un maillage n’est pas immédiat. Les méthodes de construction classique des NIJRBS repose sur l’utilisation d’un nuage de noeuds régulièrement réparti. repose sur l’utilisation d’un nuage de noeuds régulièrement réparti. Conclusion
L’objectif final de ce travail est d’obtenir une méthode de reconstruction du modèle BREP d’un objet à partir des résultats d’une analyse numérique quelconque. Devant l’ampleur de la tâche, le travail a été divisé en plusieurs parties. Ainsi pour le moment, seul le cas de l’élasticité linéaire est résolu. Cette restriction permet de s’occuper uniquement de la reconstruction de la partie géométrique du modèle BREP. L’extension du travail est immédiate, il s’agit d’étendre cette reconstruction à l’ensemble des cas possibles • reconstruction des parties topologiques et géométriques du modèle.
Remerciement Ces travaux font l’objet de subventions du Conseil de Recherche en Sciences Naturelles et en Génie du Canada (CRSNG) et du Fond Québécois de la Recherche sur la Nature et les Technologies (FQRNT). Références [1] Vincent François and Jean-Christo he Cuillière. 3d automatic remeshing applied to mod analysis integration – an Object oriented approach. In IDMME, pages 613- 622, 1996. [5] M. E. Mortenson. Geometric Modeling. John Wiley and Sons, 1985. (6] M. Mantyla. An introduction to solid modeling. Computer science press, 1988. [7] Abdelmajid BenAmara and Dominique Deneux.
F-cad : un rototype de système de cao fonctionnelle pour l’intégration du calcul dans le processus de conception. In MICAD, 1998. [8] Steven Owen and David White. Mesh based geometry : a systematic approach to constructing geometry from a finite element mesh. International Meshing Roundtable, 2001 [9] Steven Owen and David White. Mesh-based geometry. Computer Methods in Applied Mechanits and Engineering, 2003. [10] Petr Krysl and Michael Ortiz. Extraction of boundary representation from surface triangulations. International Journal for Numerical Methods in fluids, 50:1737-1758, 2001. [1 1] Joon C. Park and Yun C.
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