Mémoire de deuxième année de master enseignement CAPES par Vincent Einsetler L’utilisation de l’intervalle de confiance dans la vie quotidienne Directrice de mémoire Dr. Myriam Maumy-B Soutenu le 5 juin 201 Philippe Nuss Tatiana Believa Gilles Bourdenet orss ev é de Myrlam Maumy-Bertrand Catherine Thomas Nicole Vogel Nathalie Wach Marc Wambst IRMA IUFM IIJFM II_JFM Comment fabriquer un estimateur ? . 2. 5 Information de Fisher 2. 5. 1 Borne de Fréchet-Damois-Cramer-Rao. . 2. 5. 2 Théorème de la limite centrée pour l’EMV . par choix raisonné) 5 Contrôle de qualité 5. Mise en place du procédé 5. 1. 1 Maîtrise statistique des procédés ( MSP) . 5. 1. 2 Carte de contrôle 5. 1. 3 Les différents types de cartes de contrôle . 5. 2 1_Jtllisation et lecture d’une carte de contrôle 53 siècles, Pétude des probabilités a connu de nombreux développements, en partie grâce à l’étude de l’aspect aléatoire et imprévisible de certains phénomènes. Les sciences de l’aléatoire ne sont pas uniquement formées des probabilités mais aussi d’une autre branche des mathématiques, la statistique.
Cette dernière comprend la collecte de données, leur raitement, leur interprétation et leur présentation afin qu’elles soient compréhensibles par tout le monde. C’est ce que nous allons aborder dans ce mémoire. Nous allons tout d’abord nous intéresser aux outils probabilistes puis statistiques nécessaires à la fabrication d’estimateur permettant de fournir des estimations. Or, nous verrons que ces estimations ne sont pas toujours très correctes. C’est pour cela qu’en statistique, un nouvel outil est apparu, permettant d’évaluer la marge d’erreur de notre estimation : l’intervalle de confiance.
Nous verrons, après l’avoir défini, que c’est un outil très pulssant pour l’interprétation et la compréhension des données collectées. Après nous être penchés sur la construction de ces intervalles nous allons, par le biais de trois exemples issu de la vie quotidienne, nous intéresser en particulier à l’utilisation de l’intervalle de confiance. Deuxième partie Théorie 6 3 allons exposer les outils qui nous seront nécessaires dans la suite. Nous ne présenterons donc pas toute la théorie des probabilités qui représente une grosse partie du domaine des athématiques. 1. Espace probabilisé Définition 1 Dans ce mémoire, l’ensemble des résultats possibles d’une expérience considérée est appelé l’univers et sera noté Q. Définition 2 Nous appelons tribu sur Q un ensemble F de parties de Q qui vérifie les trois points suivants • 1. Q appartient à F. 2. Si A appartient à , alors Q N A appartient à F. 3. Si (An )nEN est une suite de F alors An appartient à F. Définition 3 Soit F une tribu. LJne sous tribu de F est une tribu G que G C F, Remarque le couple (Q, F) est appelé un espace probabilisable. Définition 4 une probabilité sur (Q, F) est une fonction p : F telle que 2.
Pour toute suite (An d’éléments de F deux à deux disjoints et de PAGF S 3 livre de Mr Foata, Mr Fuchs et Mr Franchi, Calcul des probabilités ; Cours, exercices et problèmes corrigés. Définition 6 Nous appelons tribu borélienne de la droite réelle, la tribu engendrée par la classe des intervalles fermés bornés {Ca, b] : a b). Nous la notons B et ses éléments sont appelés les boréliens de la droite. Définition 7 Un espace probabilisé (O, F, P) étant donné, nous appelons ariable aléatoire réelle une fonction mesurable de (Q, F) dans (R, B).
Définition 8 Soit X une variable aléatoire réelle. Nous appelons loi X (ou loi de probabilité de X) la fonction PX qui à tout intervalle I R, peut s’écrire comme réunion dénombrable d’intervalles, associe : px (l) = P(XE I) = pu XU) E l). Définition 9 Si X est une variable aléatoire réelle alors sa fonction répartition FX est donnée par : Définition 10 Nous disons qu’une variable aléatoire réelle X admet une densité fx si sa fonction de répartition FX peut s’écrire sous la forme : FX (x) – 6 3 la loi binomiale de paramètres n e N et pk (1 — p)n—k . Figure 1. – Loi binomiale • une loi à support infini : la loi de Poisson de paramètre E , Figure 1. 2 – Densité de probabilité de la loi de Poisson de paramètres 4 et 15 Lois continues : • la loi normale de paramètres réels u et 02 , o > O, X — 7 3 Si X est une variable discrète à valeurs dans {xi }iel où est un intervalle fini ou dénombrable, alors nous définissons son espérance mathématique par . xi = xi b) Si X est une variable continue à densité f, alors nous définissons son espérance mathématique par : f(x)dx. Définition 12 Soit X une variable aléatoire réelle.
Nous appelons moment d’ordre k, s’il existe, le nombre réel E(X k Définition 13 Nous définissons la médiane q 1 (X) de la variable aléa2 toire X par la quantité • q 1 (X) = FX-1 2 12 8 3 dispersion Définition 15 Lorsque X admet un moment d’ordre 2 (c’est à dire E(X2 ) < nous définissons la variance de X par : vareo = - C'est un nombre réel positif qui traduit à quel point les valeurs prises par X sont dispersées autour de son espérance mathématique. 13 Définition 16 Pour exprimer la dispersion autour de E(X) dans les êmes unltés que X nous utilisons l'écart-type, définit par o(X) = varoo. 4 Chapitre 2 Estimateur-estimation 2. 1 Rappels Voici le schéma que nous retrouvons dans le document ressources pour la classe terminale générale et technologique concernant les probabilités et la statistique, téléchargeable sur le site eduscol. education. fr. Figure 2. 1 - Échantillonnage et estimation. Ce schéma résume bien le rocédé à suivre pour estimer une proportion PAGF 3 variable aléatoire réelle parente X. Définition/propriété 17 Soit (Xn )neN une suite de variables aléatoires. ??? Nous disons que (Xn ) converge presque sûrement vers une limite X et nous notons Xn — X si et seulement si P( lim Xn = X) = 1 • Nous disons que (Xn ) converge en probabilité vers X et nous nop tons Xn X lorsque pour tout Q > 0, lim Xn —X p) = 1. • Nous disons que (Xn ) converge en loi vers X et nous notons Xn X si et seulement si FXn Remarque : nous avons les implications suivantes : convergence presque sûre convergence en probabilité convergence en loi. Notation : nous notons la moyenne empirique du n uplet(X1 , X2, xn) la valeur empirique xn
