ÉCOLE POLYTECHNIQUE FÉDÉRALE DE LAUSANNE Algèbre Linéaire Bachelar 1 ère année 2009 – 2010 Génie Civil Sciences et Ingénierie de l’Environnement Support du cours de Dr. Lara Thomas Polycopié initial élab p or 178 prof. Eva Bayer Flucki r Sni* to View Dr. Philippe Chabloz septembre 2009 2 Table des matières Systèmes d’équations linéaires et matrices 1 . 1 Introduction aux systèmes d’équations linéaires . 2 Systèmes linéaires et matrices 1 Elimination Gaussienne 1. 3. 1 Algorithme d’élimination de Gauss . 1. 3.
Méthode de résolution d’un système d’équations linéaires 1. 4 Systèmes homogènes d’équations linéaires .. d’une matrice 2. 6 Les matrices élémentaires 2. 7 Calcul de l’inverse d’une matrice 2. 8 Matrices triangulaires 2. 9 La transposition 2. 10 La trace 2. 11 Matrices symétriques . 2. 12 Matrices antisymétriques . et 3×3 33 36 37 42 43 45 47 4 Calcul vectoriel dans le plan et dans l’espace 4. 1 Définitions et règles de calcul 4. 1. 1 Systèmes de coordonnées . 4. 1. 2 Propriétés du calcul vectoriel 4. 2 Le produit scalaire . 4. 2.
Projection orthogonale 4. 3 Le produit vectoriel (cross product) . 4. 3. 1 Interprétation géométri ue du raduit vectoriel . 4. 4 Le produit mixte (tripl 5 Espaces euclidiens et applications linéaires 5. 1 Espaces de dimension n 5. 1. 1 Définitions et notations . 5. 1. 2 Produit scalaire 5. 1. 3 Norme et distance dans Rn.. 5. 1. 4 Représentation matricielle des vecteurs de Rn 5. 1. 5 Formule matricielle du produit scalaire 5. 1. 6 Multiplication des matrices et produit scalaire 5. 2 Applications linéaires . 5. 2. 1 Rappels sur les applications . . 2 Appllcations lineaires 5. 2. 3 Quelques exemples d’applications linéaires . 5. 2. 4 Rotations 5. 2. 5 Composition d’applications linéaires . 5. 3 Propriétés des applications linéaires 6. 4 Indépendance linéaire . 6. 4. 1 Interprétation géométrique de la dépendance linéaire . 6. 5 Bases et dimension 6. 6 Espace des lignes et colonnes d’une matrice 6. 7 Changements de bases 6. 7. 1 Changement de bases en 2 dimensions 6. 7. 2 Dimension quelconque approximative d’un système d’équations linéaires 5 7E 10. 4. 1 Tenseurs d’ordre (p, q) 0. . 2 Exemple des tenseurs d’ordre (1, 10. 5 Opérations sur les tenseurs 10. 6 Changement de bases . 10. 6. 1 Cas des tenseurs d’ordre (1, O) (vecteurs de V) . 10. 6. 2 Cas des tenseurs d’ordre (O, 1) (formes linéaires sur V) 10. 6. 3 Cas des tenseurs d’ordre (O, 2) (formes bilinéaires sur V ) 10. 6. 4 Cas des tenseurs (2, O) (formes bilinéaires sur V * ) . 10. 6. 5 Cas des tenseurs d’ordre (1, 1) . 10. 6. 6 Cas des tenseurs d’ordre (p, q) . 10. 7 Champs tensoriels . 10. 7. 1 Définitions . 10. 7. 2 Changements de coordonnées . . 7. 3 Cas d’un champ tensoriel d’ordre (1, O) (champ vectoriel) 10. 7. 4 Cas d’un champ tensoriel d’ordre (0, 1) . 10. 7. 5 Cas d’un champ quelconque . Index . Index des notations . 8 7E commence avec une étude des équations linéaires et de leur résolution. 1. 1 Introduction aux systèmes d’équations linéaires L’équation d’une droite dans le plan xy s’écrit al x + a2y=b où al , a2 et b sont des paramétres réels. Cette équation s’appelle équation linéaire dans les variables (ou inconnues) x et y. Exemple . PAGF ID 38
