Equa diff suite Object 1 Deux cas sont étudiés y’ = ay et y’ = ay b où a et b sont des constantes réelles données. Ce sont des cas particuliers d’équations linéaires du 1er ordre. Les solutions sont respectivement : y = keax ety = keax -bla On étudie ici le cas général.
La fonction exponentielle correspondant à y’ – 1 étant supposée réciproque de la fonction logarithme dérivable sur R, or E Sni* to View ant que fonction fonction f, non nulle, telle que = f(X) (Y) et t(0) = (0) : Les fonctions x a(x), x b(x) et x c(x) étant continues sur un intervalle J de R, ‘équation différentielle linéaire (par rapport à y et y’) du premier ordre s’écrit sous la forme : + = c(x) , x • Le cas y’ ay correspond à a(x) 1, b(x) – a, c(x) O pour tout parfois, homogène : le second membre est nul.
Un point important : on peut supposer maintenant que x a(x) ne s’annule pas sur tout un sous-intervalle J’ de J : l’équation ne serait plus différentielle sur Ji.. Les cas où a(x) = 0 pour des valeurs isolées de x se traitent en revenant ? l’équation initiale : b(x)y = c(x). Donc, quitte à décomposer J en une réunion finie ou dénombrable ‘intervalles sur lesquels a(x) est non nul, on peut supposer a(x) non nul sur J.
L’équation sans second membre (h) peut se résoudre par quadrature car l’on peut séparer les variables x et Y en écrivant, sous la condition Y(x) non nul en tout point de J : WY = -b(xvaco Si f(x) désigne une primitive de on a successivement ln I YI + C, ln désignant le logarithme népérien . Puis I YI = ef(x) + C eCef(x) avec C une constante arbitraire. La solution générale de (h) peut donc s’écrire Y – k. ef(X) où f(x) désigne une primitive de et k une constante arbitraire.
La solution de (e) s’obtient en ajoutant yo Y = YO + k. ef(x) La valeur de k sera calculée compte tenu d’un condition initiale valeur connue de y ou de yi en un point donné. La solution Y précédemm condition initiale : valeur connue de y ou de y’ en un point donné. La solution Y précédemment trouvée ne s’annule effectivement pas sur J (comme supposé) si la constante k est choisie non nulle. Mais la question est de savoir si cette résolution fournit toutes les solutions de (h) ?
En remarquant, avec les notations précédentes, que x ef(x) est effectivement une solution de (h) ne prenant jamais la valeur O, on est en droit de oser g(x) = Y/ef(x), c’est à dire Y g(x)e f(x) où g désigne une fonction dérivable sur J. En reportant dans (h), et en simplifiant par ef(x), on obtient : + = O pour tout x de J Mais (x) – Il nous reste donc a(x)g'(x) = O pour tout x de J. Cest dire que g'(x) O sur J, donc que g est constante sur J : la solution de (h) est donc bien Y k. f(x) Équation différentielle à variables séparables : D’une façon générale, on appelle équation différentielle ? variables séparables, une équation pouvant se ramener à la forme c’est à dire à l’égalité de deux différentielles : f(y). y = La solution est alors de la forme F(y)= G(x) + C, où F et G désignent respectivement des primit est alors de la forme Hy) G(x) + C, où F et G désignent respectivement des primitives de f et g, C étant une constante arbitraire.
Recherche d’une solution particulière de l’équation complète • méthode de la variation de la constante On a vu ci-dessus que la résolution de (e) réside dans : • la recherche d’une primitive de : résolution de (h); • la recherche d’une solution particulière yo de (e); Concernant ce second point, On doit à Laplace une méthode stucieuse si le premier est résolu, dite de la varlation de la constante : Si Y est solution de (h) et ne s’annule pas sur J, on peut écrire qu’une solution particulière de (e) est y = k(x).
Y(x) où k = y/Y est une fonction ? déterminer. Or, k est dérivable et on a : y’ = k’Y + kY’. En reportant dans (e) on obtient : [a(x). Y’ + + a(x). kY c(x) Le crochet est identiquement nul, donc : et on obtiendra k par une simple quadrature (si tout se passe bien… ). Remarquer que l’ensemble des solutions de (h), donc de la forme Y = k. ef(x), constitue un espace vectoriel de dimension 1.
Par suite, si yl ety2 sont des solutions particulières linéairement indépendantes de l’équation complète (e), alors yl – y2 PAGF des solutions particulières linéairement indépendantes de l’équation complète (e), alors yl -y2 est solution de (h) et par conséquent, k(yl – y2), où k est un nombre réel arbitraire, est la solution générale de cette équation Trois cas simples d’illustration : résoudre les équations différentielles : l. Y’+Y+1=ex 2. y’ + y cos x 4. y » – By’ + 15y e3xcos2x (on posera y ze3x) 1. L’équation que nous notons (e) s’écrit y’ + y = ex – 1.
L’équation sans second membre Y + 0 s’écrit Y’/Y= – 1. Cest dire que Y – ke -x. Recherchons une solution particulière au moyen de la méthode de la variation de la constante Siy alors y’ = k’e-x – k. e-x; on reporte dans (e), ce qui fournit k’ e2x – ex, soit : k(x) e2W2 – ex (à une constante additive près que nous choisissons nulle, puisqu’il s’agit ici de la recherche d’une solution particulière). Une solution particulière de (e) est donc yo = ex/2 – 1 et la solution générale est Y + yo soit • hex-1,kR 2. Pour ce second cas, la méthode de la variation de la constante onduit à k’ = e x. os x, ce qui nécessite une intégration par parties : à une constante additi conduit à k’ e x. cos x, ce qui nécessite une intégration par parties : à une constante additive près, on sait que . On trouve sans difficultés : k(x) = h(sin x + cos x) et finalement : y = Ce-x + Ih(sin x + cos x), CR 3. a solution de l’équation homogène vérifie ln I YI = ln(ek/x2). Ainsi Y C/x2 en posant C = ±ek. La méthode de la variation de la constante conduit à rechercher une solution particulière sous la forme y a/x2 avec y’ a’/x2 – 2a/x3, d’où a’ x. x et une ntégration par parties fournit a = (x- 1) ex (à une constante additive près) : Mais y(l) = O, donc 0 = C et la solution de l’équation est finalement 4. En posant, comme indiqué, y ze3x, on est conduit à z » – 2z’ cos2x. On pose alors u = z’ pour se ramener au 1er ordre. On obtient u ke2x comme solution générale de l’équation homogène. La méthode de la variation de la constante fournit k par double intégration par parties et on obtient u – Y4(sin2x – cos2x). Finalement z = -(sin2x + cos2x)/8 + C + hke2x Par conséquent : y = [-(sinn + cos2x)/8 + C]e3X + Y2ke5x
