DM : Généralités sur les suites DM : Etude d’une suite récurrente On considère la fonction f : x 1 — x2 et la suite récurrente u dé nie par LIO e R et : Vn N, un+l = f (un). 1 . Dresser le tableau de variations de la fonction f et étudier le signe de f (x)- x (qu’on fera gurer dans le tableau de variations) en fonction de x. 2. Déterminer les poi 3. En déduire que, si nécessairement vers 4. On suppose que u a. Démontrer alors q or 2 ) de la fonction f. e, elle converge u2n E [0, pc et 1]. b. Etudier le signe de f » f (x) – x (factoriser l’expression à l’aide de racines évidentes). c.
Montrer que, si les suites (u2n )nEN et (u2n+1 )nEN sont convergentes, elles convergent nécessairement vers l’un des quatre réels sulvants . a, O, ou 1 d. Montrer que les suites extraites (u2n )neN et (u2n41 )nCN sont monotones. e. (i) En déduire Swipe to vlew next page déduire que ces deux sous-suites sont convergentes. (ii) Déterminer leur monotonie. (iii) Préciser leurs limites. La suite (un )neN converge-t-elle ? f. Que peut-on dire lorsque ut) 1] ? Et lorsque ut) – p ? 5. On suppose désormais uO < a. a. Montrer que, pour tout n N, un < a. b. A l'aide du signe de f (x) - x, étudier la monotonie de la suite un )neN . . En déduire la limite de (un )nEN . 6. Etudier la convergence de la suite (un )neN lorsque uO a. 7. A l'aide des questions précédentes, étudier la suite (un )nEN lorsque uO e 0]. 8. On suppose que E]a. —1[. On suppose que la suite (un )nEN est majorée par —1. a. Montrer qu'alors tous les termes de la suite sont contenus dans l'intervalle la, b. A l'aide de la monotonie de la suite, étudier sa convergence éventuelle et établir une contradiction. c. En déduire qu'il existe un entier no tel que unO —1 . Conclure. 9. Etudier la convergence de la suite (un )nEN lorsque uO > 1.
