Croissance de population des lapins selon une suite de Fibonacci Sommaire [masquer] 1 Présentation mathématique 1. 1 Formule de récurrence 1. 2 NO Sv. ‘ipe to Nombres de Fibonacci 2 Expression fonctionnelle La suite pour les nombres négatifs 4 Limite des quotients 5 Bases et espaces vectoriels 6 Algorithmes de calcul des nombres de Fibonacci 6. 1 Avec la formule de Binet 6. 2 Algorithme récursif naif 6. 3 Algorithme linéaire 6. 4 Algorithme logarithmique 6. Curiosité algorithmique 7 Propriétés de la suite de Fibonacci 8 Bestiaire de formules 9 Série génératrice 10 Divisibilité des nombres de Fibonacci 11 Primalité des nombres de Fibonacci 12 Applications 13 Généralisations 13. 1 Suites de Fibonacci généralisées 13. 2 suites de Lucas 13. 3 Suites de k-bonacci 14 Dans la culture populaire 14. 1 Littérature 4. 2 Cinéma 14. 3 Télévision 144 Musique 14. 5 Architecture 14. 6 Jeux vidéo 15 Notes et références 16 Voir aussi 16. Bibliographie 16. 2 Articles connexes 16. 3 Liens externes Présentation mathématique[modifier I modifier le code] Formule de récurrence[modifier modifier le code] Le problème de Fibonacci de la suite dont le n-ième 2 OF s chaque (début de) mois, toute paire susceptible de procréer engendre effectivement une nouvelle paire de lapereaux ; les lapins ne meurent jamais (donc la suite de Fibonacci est croissante). Notons mathcal F_n le nombre de couples de lapins au début du mois n.
Jusqu’à la fin du deuxième mois, la population se limite un couple (ce qu’on note : « mathcal F _2=1 Dès le début du troisième mois, le couple de lapins a deux mois et il engendre un autre couple de lapins ; on note alors Nmathcal Plaçons-nous maintenant au mois nu. et cherchons à exprimer ce qu’il en sera deux mois plus tard, soit au mois n +2 : mathcal désigne la somme des couples de lapins au mois n + 1 et des couples nouvellement engendrés. Or, n’engendrent au mois (n 2) que les couples pubères, c’est- à-dire ceux qui existent deux mois auparavant. On a donc, pour tout entier n strictement positif :
Nmathcal F_{n On choisit alors de poser mathcal de manière que cette équation soit encore vérifiée pour n=O. On obtient ainsi la forme récurrente de la suite de Fibonacci chaque terme de cette suite est la somme des deux termes précédents ; pour obtenir chacun de ces deux termes, il faut faire la somme de leurs termes précédents… et ainsi de suite, jusqu’ ce que ces deux termes soient les deux termes initiaux, 3 OF s termes précédents… et ainsi de suite, jusqu’à ce que ces deux termes soient les deux termes initiaux, Nmathcal et mathcal F_O, qui sont connus. Nombres de Fibonacci[modifier modifier le code]
