Université Montpellier II : UFR sciences Module EEA2 Cours EEA2 : Courant sinusidal Réseaux de conducteurs en courant sinusoïdal 1 Courant sinusoidal 1. 1 Définition Un courant alternatif est un courant tel que : sa valeur instantanée varie de façon périodique au cours du temps 3/4 sa valeur moyenne En général, on s’intér sinusoidaux : cos(wt +cb) , 3/4 lm (en A) : amplitu cos() = ±1)) 2 p g nt aux courants i(t), atteinte pour : pulsation (en rd. -l), liée à la fréquence f (en Hz) et la période T (en s) par : UJ=2rtf – 2n : différence de phase entre ce courant et une grandeur de éférence (courant ou tension). Remarque : pour tout ce cours on se limitera à l’hypothèse des « courants quasi stationnaires » (ou courants « lentement variables ») pour laquelle les lois relatives aux courants continus restent applicables. Cette hypothèse reste valable tant que la longueur d’onde associée À reste très grande devant la dimension maximale du circuit L : À c>> L, c = 3. 08 m. s-l étant la vitesse de la lumière. électronique), il faut que pour vérifier cette hypothèse. Les microprocesseurs actuels (en 2002) qui fonctionnent à 1 ou 2GHz commencent à atteindre cette limite A partir de quelques dizaines de GHz, on entre dans le domaine des radiofréquences et d’autres types de circuits sont nécessaires. 1. 2 Effet Joule La loi d’Ohm aux bornes dune résistance est applicable aux valeurs instantanées .
L’effetJoule pendant dt est l’extension de l’expression de la puissance en continu : en continu Pz dW —R 12 dt en valeurs instantanées : dW ZR i2(t) dt Yves Bertrand, bertrand@lirmm. fr Cours 2003/2004 Université Montpellier II : UFR Sciences Effet Joule moyen sur une période Définition : On appelle intensité efficace d’un courant alternatif, ‘intensité leff que devrait avoir un courant continu pour dissiper dans une même résistance R la même énergie que le courant alternatif pendant 2 2 savoir démontrer ces expressions.
Valeur moyenne On définit aussi les valeurs moyennes des courant et tension Imoy=l J et Umoy=l J L’étudiant doit savoir calculer les valeurs moyenne et efficace des signaux périodiques simples : sinusoïdal, sinusoïdal redressé simple alternance, sinusoïdal redressé double alternance, carré, triangulaire, dent de scie, etc. (cf. TD). 2 Loi d’Ohm en sinusoïdal 2. Loi d’ohm aux bornes d’un circuit RLC erie ul_(t) c i(t) +q -q uR(t) Résistance R : i(t) 3/4 Condensateur C (ou cap 3 2 s expressions et il -4 di/dt
On en déduit l’équation intégrodlfférentlelle suivante : u(t) = L di + R J i(t) dt En utilisant la charge q(t) aux bornes du condensateur comme ariable et en divisant par L on obtient l’équation du second ordre à coefficients constants suivante : d2q R dq 1 4 2 L’équation caractéristique s’écrit : r2 20 r + w02 = O dont les solutions sont : et la solution de l’ESSM s’écrit : qO(t) = A exp(rl t) + B exp(r2 t) cours 2003/2004 Université Montpellier Il EASM : pour un second membre de type sinuso-ldal, la solution particulière est de type sinusoidal : ql(t) cos(wt +0) D’où la solution générale de l’équation : q(t) = exp(-at) {l A exp( 02 ) + B expe C12 -tJ02 ) + Qrn cos(wt +0) Cette solution fait apparaître la somme de 2 régimes : n régime transitoire qui s’amortit dans le temps selon le terme en exp(-at) et disparaît un régime permanent sinusoidal qui perdure. On l’appelle régime forcé.
A partir de quelques valeurs typiques, on peut donner une idée de la durée du phénomène transitoire : a ) pour R=2kQ, s 2 pour R=IOQ, L=IH a=W2L 5-1 un calcul identique au calcul précédent montre que le temps au bout duquel l’amplitude du régime transitoire ne vaut plus que 1% de son amplitude initiale est d’environ Is. Selon le signe du discriminant ô’ = 02 —w02 , le régime transitoire peut avoir 3 formes : /4 régime apériodique, pour A’>O régime critique, pour 0’=0 régime sinusoïdal amorti, pour 11′<0. e régime permanent sinusoïdal qui s'établit après disparition du régime transitoire donne l'expression de la charge instantanée : q(t) cos(ut +4)) , d'où l'on tire l'expression du courant instantané : i(t) =lm cos u't +(bi pour cette partie du cours on ne s'intéressera qu'au régime permanent sinusoïdal. La pulsation IJ est connue : c'est tout simplement la pulsation imposée par la source de tension alternative appliquée au circuit.
Pour caractériser complètement le courant i(t), il s’agit donc de éterminer uniquement 2 paramètres : lm : amplitude du courant sinusoïdal Oi : déphasage du courant par rapport à la tension appliquée en entrée u(t), choisie comme origine des phases. pour ce faire, on utilise principalement deux méthodes la représentation de Fresnel 3/4 la méthode des amplitu 6 2 Principe Objectif : représentation graphique des grandeurs sinusoïdales Soit une tension sinusoïdale v(t)=Vm cos(wt). On peut voir cette grandeur comme la projection horizontale d’un vecteur de module Vm tournant dans un plan autour de son origine O à la vitesse angulaire w. A chaque instant le vecteur formera donc un angle UJt avec l’axe horizontal.
Si on veut représenter un courant cos(ut+O) déphasé de cb par rapport à v(t), on aura un vecteur de module lm faisant un angle bJt+d) avec l’axe horizontal. lm Vm o Vmcos(wt) Imcos(wt+cb) 3. 2 Dérivée et intégrale du courant a ) dérivée : di – —colm sin t_LJt +(bi = Wlm cos t_ot +01 + ri 2 di/dt est en quadrature avance sur i et son amplitude est multipliée par w. 2 représentation de Fresnel du circuit RLC série, on choisit arbitrairement de prendre l’axe des courants comme axe horizontal de référence ($i=O). On trace les vecteurs associés aux tensions aux bornes de chaque éléments. Le vecteur représentant la tension u(t) aux bornes du circuit RLC sera donc la somme vectorielle des trois vecteurs représentant uR(t), uL(t) et uC(t).
Le vecteur associé à i(t) = R lm cos(wt) est un vecteur porté par l’axe horizontal, de module Rlm. 5 dl(t) = L u lm cos(ut + TT) est un vecteur de module Culm, ? Le vecteur associé à uL(t) = TI/2 de l’axe horizontal. Le vecteur associé à uC(t) vecteur de module Im/CbJ, ? B2 lm cos (wt — IT) est un connaitre pour caractériser un signal sinusoïdal de pulsation onnée sont son amplitude et sa phase (en fait, la différence de phase par rapport à un signal de référence). Dans le cas d’un courant, par exemple : lm et (li. Afin de pouvoir utiliser des grandeurs mathématiques manipulables pour calculer ces grandeurs, on introduit la notion d’amplitude complexe associée ? un signal sinusoïdal.
Pour cela, remarquons que la fonction cosinus représente la partie réelle du nombre complexe correspondant : j wt+d)i -Rel Ime i(t) = lm cos +0i – jcb jtb 1 i(t) = Rel Im e jut e il = Re e jwt , avec I = lm ei amplitude complexe associée à i(t) ‘où : valeurs temporelles et amplitudes complexes, résoudre l’équation différentielle du deuxième ordre L di + R 1 i(t) dt u(t) revient à résoudre l’équation linéaire associée : avec U = Um e jou = Um , amplitude complexe associée à la tension appliquée u(t) aux bornes du circuit série RLC, prise comme référence des phases On en déduit la loi d’ohm en complexe : Z : impédance complexe du circuit RLC U et I : amplitudes complexes associées à u(t) et i(t), respectivement. Calcul de l’amplitude lm de i(t) Im est le module de l’amplitude complexe lm Um z cuj 0 2
