BTS Table des mati ‘ eres 1 Fonctions usuelles 2 1. 1 Fonctions en escalier 1. 2 Fonctions affines…. 1. 3 Fonction logarithme . Cours BTS Fonctions Premium gy annamila I anpe,nq 13, 2015 19 pages Fonctions d’une variable r’ eelle Sni* to View or 19 7 2. 3. 4 Compositions . 2. 4 Calcul de limites dans les cas de formes ind etermin 8 2. 5 Croissance compar’ ee de l’exponentielle, du logarithme et des fonctions puissance . 9 3D erivation 3. Nombre d’ eriv’e en un point 3. 2 14 Y. Morel – xymaths. ree. fr/BTS/ Fonctions d’une variable r’ eelle – BTS- 1/14 Fonctions usuelles Fonctions en escalier efinition Une fonction en escalier est une fonction constante par intervalles. -2 6 Exercice 1 La fonction d eflnie sur [—8 ; [ par f (x) = en escalier. Fonction logarithme D efinition La fonction logarithme n’ ep erien, not ee ln, est l’unique primitive de la fonction x sur] Û ; [ qui s’annule en 1.
Cons • equences directes : – In(l) Fonctions d’une variable r’ eelle BTS – 2/14 la fonction logarithme n•ep’ erien est d’ erivable sur]0 + pour tout x > O, ln’ (x) d’ efinie Propri e Soit a et b deux r • eels strictement positifs et n est un entier naturel, alors : • ln(ab) = ln(a) + ln(b). • ln – ln(a) — ln(b). efinition La fonction exponentielle est la fonction d • efinle sur IR par exp(x) = ex , ex ‘etant l’unique nombre r’ eel positif dont le logarithme vaut x.
Remarque : Les fonctions exponentielle et logarithme sont r eciproques l’une de l’autre : pour tous r • eels x et y > O, = ex ln (ex ) —x eln y = Y Graphiquement, les courbes sont sym ‘ etriques par rapport a la premi ere bissectrice (y — x) dans un rep ere othonormal. Cons equences directes : • exp{x) = ex > O et exp(l) = el = e z 2, 718. et e Soient a et b deux r’ eels et n est un entier relatif, alors : • ea eh ea+b • b — a • (ea )n = ean . Exercice 4 Transformations d’expressions num eriques et alg ebriques : – e2 x e3 x 4 x (e—2 )—3 = e2+3-4+6 = e7 PAGF lg variations et la courbe : signe 1. Fonctions puissance D’ efinition Soit a un nombre r’ eel, la fonction puissance (d’exposant) a, not ee fa est la fonction qui, a tout nombre x IR+ associe fa (x) = xa = ea ln x Exercice 5 Dans le cas o u a = , on afl (x) = x 2 —e 2 ln x = x Propri ‘ e Pour tout a, la fonction f le sur IR•+ de d’eriv’ ee verticale equation x 2 Il n’y a pas d’asymptote. Limite en lim f (x) = 2 IN ln x exp x COS x sin x lim ind efini aucune BTS – 6/14 lim (x — 30 lim (x- 1) lim [(x lim ex+3 = O. lim e lim (2x+ l) ln X lim (x + 4) 4
