PROBLÈME 1 : Optimisation d’une fonction à une variable Soit la fonction 2×4 — 3×3 – 8 + ex – 12 1. 1 Voir le graphique Excel en annexe page 9 1-2 Points stationnaires = 8×3 – 9×2 = o x2(8x-9) – x2=o Sni* to View Les points stationnaires de f (x) sont {0 , 1. Nature locale Nature locale des points stationnaires 24×2 – 18x donc, x- O est un point singulier f'(9/8) 24 02 – 180 = 10,125 > O, donc le point stationnaire est un minimum local f'(4) – -2 O, donc le point stationnaire 4 est un maximum local Nature locale des bornes = -17 < O, donc la borne inférieure x = -1 est un maximum -2(5) +8 -10+8 donc la borne supérieure x = 5 est un minimum local Point critique I n'y a pas de point critique, car la dérivée existe sur tout le domaine de f(x). . 4 Les optima absolus de f(x) Analyse de convexité f'(x) 24x2 - (2x2 - )-x2+x3 = o n- 2x3 = o (1 -20=0 Remplaçons la valeur de x dans l'équation de y % Un point stationnaire, (xy) = (h, 1/4) 2. 3 La fonction est-elle convexe, concave, ou ni convexe et ni concave ? La fonction f (x,y) est convexe au sens global. Nous pouvons affirmer ces propos en regardant brièvement le graphique de la fonction f (x,y) joint en annexe à la page 9.
Ily a la présence d’un minimum local dans la section en bleu, puisqu’à gauche de ses points et à droite de ces derniers la section devient rouge, les points sont plus élevés, la fonction est donc convexe sur l’ensemble du domaine. 2. 4 La nature des points stationnaires 2Y2 – 2Y + 4XY- 2x • 3×2 4xy – 2x + 3×2 Remplaçons les valeurs de x et de y dans la matrice Hessien Déterminant = ad – bc = Valeur de a = > O La matrice est définie positive, donc ( h, ‘4 ) est un minimum local. 2y2 -x2y +x3y – —x) Graphique 2. 5 : Voir annexe page 10 B. Déterminer le minimum absolu de la fonction , R) = x2y2 -x2y +x3y – —x) (l) L’X(X, y, 2XY2 -2XY +3X2Y + À = O (2) L’y(x, y, 2yx2- x2 x3 -X -O (3) L’R(X, y, – = O De (3) -y + x -O donc Mettre (3) dans (2) Dans (1) 2×3 – n +x3 3×3 – x2 -X -2x(x) 3×2(x) O 2×3 – 2×2 • 3×3 + = o 2×3 – 2×2 + 3×3 + 3×3 – x2=o 8X3 -3X2 0 Si x— O alors FO et XEO… ce qui se trouverait à être un point critique.
Si 3/8 alors 3/8 et Déterminer la nature du point stationnaire à l’aide du Hessien f »xx(x, y) f »xx(x, 2y2 —2y +6xy 2×2 4xy —2x *3×2 f « xy(x, y) 202 202 – PAGF votre résultat en utilisant Excel. Avec le minimum absolu ( ), on doit déterminer le multiplicateur de Lagrange. Sot = , y ») dans la formule Si alors À*– =O. 0176 Le multiplicateur de Lagrange associé au minimum ( PROBLÈME 3 : Modélisation ; ) est 3. Définition des variables, de la fonction-objectif et des contraintes Définition des variables x : nombre de mandats réalisés par un certain ingénieur dans un secteur précis Puisque dans cette problématique il y a 6 ingénieurs ainsi que 4 secteurs différents, cela signifie qu’il existe 24 variables à deux indices chacun comme expliqué ci-dessous : : Ingénieur Albert x2_ : Ingénieur Bertrand 3_ : Ingénieur Charles Centre x4_ : Ingénieur Diane Banlieue x5_ : Ingénieur {lyse x6_ : Ingénieur Fabien x 1 : Secteur 1 : Côte Nord x_2 : Secteur 2 : Baie James : Secteur 3 : Montréal : Secteur 4 : Montréal Ainsi, le premier indice équivaut à l’ingénieur et le deuxième indice équivaut au secteur. Par exemple, xl 1 ferait référence ? l’ingénieur Albert dans le secteur Côte Nord.
Fonction Objectif Puisque l’objectif de ce problème est de minimiser les coûts d’assignation des ingénieurs aux régions, en respectant les disponibilités et les demandes la fonction se résumerait à : XII (6 500) + (6 300) + (5 700) + x54 (5 700) + X61 (6 900) + X62 (7100) + X63 (6 600) + X64 (5 900) Contraintes Contrainte 1 : disponibilité des ingénieurs x-2-3 x 3-4 XI _ x3 x4 x5 x6_ 3 Contrainte 2 : mandats par secteur I = 2 X EN 3. 2 Résolution à l’aide du Solveur Excel en annexe pages 11 et 12 Le coût minimal absolu d’assignation des ingénieurs est de 76 900$. Selon le solveur d’Excel, il s’agit d’une solution optimale globale. 3. Albert et Charles Puisqu’Albert et Charles demandent d’être assignés à une même région au mains une fois, cela ajoute une contrainte au problème. l étant Albert etx3 Charles, leur nombre de mandats doivent être supérieur à O dans au moins une des régions en même temps : (XII et x31 ou (x12>0 et x32 et ou (x14>0 et x34 Le coût minimal local d’assignation des ingénieurs est de 79 000$. Selon le solveur d’Excel, il s’agit d’une solution optimale locale. (Voir Solveur Excel 3. 3 en annexe, page 17 – 14). On ne peut pas respecter la re uête cffAlbert et Charles sans augmenter le coût global d ns. L’augmentation de On ne peut pas respecter la requête cffAlbert et Charles sans augmenter le coût global des assignations. L’augmentation de
