Er, particulier, F'(l) = E(N), = N-l)]. pour obtenir la variance, il nous suffit de calculer : 1. 3. Variable aléatoire continue non négative : Transformée de Laplace Soit f une fonction qui prend ses valeurs dans R+ . La transformée de Laplace de f Quand f (s) existe, nous avons une correspondance biunivoque entre f et f 6 3 que la probabilité qu’un signal arrive durant un intervalle de durée est proportionnelle à t, le coefficient de proportionnalité dépendant du système émetteur de ces signaux.
Si t est suffisamment petit, la probabilité d’avoir plus d’un signal pendant cet intervalle de temps t est négligeable. 4 C’est à dire que nous pouvons écrire: pr(l signal pendant t} = pr(plus d’un signal pendant t} = t). I s’agit de trouver la probabilité d’avoir k signaux pendant l’intervalle [O,T]. Pour répondre à cette question, on peut subdiviser cet intervalle en n petits intervalles chacun de longueur t avec .
Dans ces conditions, le nombre N de signaux qui arrivent pendant l’intervalle [O,T] suit la loi Binomiale de paramètres n et deuxième terme de cette expression tend e quand n tend vers l’infini. Ce qui nous donne en définitive comme limite de la probabilité d’avoir k signaux dans un intervalle [O, T] : kl On reconnaît ici, la fonction densité de probabilité de la distribution de Poisson de paramètre T. Donc, on voit ici qu’avec des conditions très peu restrictives, nous sommes rrivés à démontrer que la probabilité limite d’avoir k signaux dans un intervalle [O, T] suit une loi de Poisson.
Ces conditions sont: 5 la probabilité d’avoir un signal dans un intervalle de longueur proportionnelle t est t, le coefficient de proportionnalité étant indépendant de l’état du système est distribuée selon la 101 exponentielle de paramètre si sa fonction densité de probabilité est donnée par : f(x) = pour x o. Sa fonction de répartition est donc égale à : x pour x Ses moments peuvent être obtenus par les expressions usuelles ou en utilisant la transformée e Laplace puisque nous avons une variable aléatoire non négative.
Nous allons calculer l’espérance mathématique et la variance par les deux méthodes successivement. 6 O xe 3 pendant un durée tO, continue à fonctionner au moins un temps supplémentaire tl ou par exemple, si le dernier bus est passé il y a t0, qu’elle est la probabilité que l’on attende un temps inférieur à tl avant farrivée du bus suivant.
