Si la fléchette atteint une lettre rouge, le joueur gagne 8 euros. Si la fléchette atteint une lettre verte, le joueur gagne 5 euros. Si la fléchette atteint une lettre noire, le joueur gagne 3 euros. Si la fléchette atteint une lettre bleue, le joueur perd a euros ( a > 0) On note X la variable aléatoire représentant le gain algébrique du joueur. ) Donner la loi de probabilité de X. 2) Calculer a pour que le jeu soit équitable. Calculer ensuite la variance de X pour la valeur de a trouvée. 3) Le jeu précédent avec la valeur de a trouvée à la question précédente est modifié.
Le gain ou la perte résultant de la couleu 0 valeur de a trouvée à la question précédente est modifié. Le gain ou la perte résultant de la couleur de la lettre atteinte est multiplié par 2, mais le joueur doit miser 3 euros avant de jouer. On note Y la variable aléatoire représentant le gain algébrique du joueur pour ce nouveau jeu. Exprimer Y en fonction e X, puis déterminer l’espérance et la variance de Y. EXERCICE 6 : Un client intente un procès qui, s’il le gagne, lui rapportera la somme de 100 000 €. Il a le choix entre deux avocats A et B.
A réclame des honoraires fixes de 12 000 E. B réclame de la somme si le procès est gagné et rien sinon. Chacun des deux avocats assure que le client a «75 % de chances » de gagner. Déterminer l’espérance du gain dans chaque cas et conseiller le client sur le choix de l’avocat. EXERCICE 7 : Une pièce de monnaie équilibrée est lancée quatre fois. 1) Soit X le nombre de fois où pile apparaît au cours des quatre ancers. Donner la loi de probabilité de X. 2) Quelle est la probabilité d’obtenir a) au moins une fois pile ? b) au moins trois fois pile ?
EXERCICE 8 : On admet que la probabilité qu’un nouveau né soit une fille est 0,4 et que les sexes des nouveaux-nés successifs de mêmes parents sont indépendants. On s’intéresse aux familles de quatre enfants. 1) On note X la variable aléatoire égale au nombre de filles d’une telle famille. Déterminer la loi de probabilité de X, puis calculer nombre de filles d’une telle famille. Déterminer la loi de probabilité de X, puis calculer E(X) et V(X). ) Quelle est la probabilité qu’une telle famille ait : a) au moins une fille ? ) au plus deux filles ? EXERCICE 9 : Des sondages permettent de constater que 10 % de la population est constituée de gauchers. On considérera donc, dans cet exercice, que la probabilité pour qu’un individu pris au hasard soit gaucher est égale à et celle pour qu’il soit droitier est égale à 0,9. Calculer la probabilité qu’un groupe de huit personnes contienne : 1) un seul gaucher 2) au moins un gaucher 3) exactement trois gauchers. EXERCICES DE REVISION SUR LES PROBABILITES. CORRECTIONS.
EXERCICE 1 : On dispose d’un dé pipé dont les faces sont l = p2 = p4 = p5 et p2 = 0,3 et comme la somme des probabilités vaut 1, on en déduit que 5 Pl Pl = 0,14 : Dou la loi de probabilité 2 4 0 P2 + p4+ = 0,14 + + donc PC A) = 0,58 3) Déterminer la probabilité de l’événement B : « le résultat obtenu est un nombre premier » P ( 3) = P2 + + P5 = 0,14 + 0,14 40,14 donc P O, 42 4) Caractériser par une phrase l’événement A u B et calculer sa « Le nombre est premier ou pair P ( Au B) = P2+ + P4+ ps + donc P (A u B) = 0,86 Autre méthode p ( Au B) = B) = 0,86 B) = 0,58 + O, 42 – P2, soit Pt Au Pour chacune des affirmations suivantes, dire SI elle est vraie ou ) Si A et B sont incompatibles alors ils sont contraires est FAUX Considérons par exemple le cas d’un dé non truqué, et les événements A : « Le dé donne le chiffre 1 » et B : « Le dé donne 2 Le contraire de A, soit A est : « Le dé ne donne pas le chiffre c’est-à-dire « Le dé donne le chiffre 2 ou 3 ou 4 ou 5 ou 6 » et il y une intersection avec l’événement B, c’est donc faux. ) Si A et B sont contraires, alors ils sont incompatibles est VRAI Supposons que les événements A et b soient contraires, alors par définition, si on n’a pas A, on a son complémentaire, donc B, et si A, on n’a pas son complémentaire, donc ces deux événements sont bien incompatibles. 3) SI 1, alors A et B s complémentaire, donc ces deux événements sont bien incompatibles. 3) Si p(A) + p(B) 1, alors A et B sont contraires : FAUX Toujours avec le contre exemple du dé, du | 0). On pose A : « Le dé donne soit le 2, le 3 ou le 4 » et on considère l’événement b : « Le dé donne un chiffre pair » , alors p (A) et pourtant les événements A et B ne sont pas contraires, c’est donc faux.
VRAI On appelle C l’ensemble des éléments qui ne sont pas pris en compte par A et B , donc — 1 , somme de toutes e probabilités, d’autre part d’après la deuxième question, on a démontre qu’il n’existe pas d’événement dans C , donc P (C ) = O qui implique que P (A) + P EXERCICE 3 : Dans un sac, il y a des grosses boules et des petites ; ces boules sont blanches ou noires. On sait qu’Ily a 5 grosses et 4 petites, qu’il y a 6 boules blanches On tire une boule au hasard. uelles sont les probabilités pour 6 0 P(BUP) 63362 99993 -PC Bnp mathématique, la variance et l’écart type de T. Le nombre de petits cubes ayant 3 faces peintes est : 8. Le nombre de petits cubes ayant 2 faces peintes est : 12. Le nombre de petits cubes ayant 1 face peinte est : 6. Le nombre de petits cubes ayant O face peinteOs est : 1 On peut obtenir alors l’arbre ci-contre.
